基于UG的漸開線直齒圓柱齒輪參數化精確造型設計

祝 林，李小明

（四川職業技術學院，四川 遂寧 629000）

0 引 言

在工程機械中用作傳動的漸開線直齒圓柱齒輪應用相當廣泛，對直齒圓柱齒輪進行精確造型設計是工程機械進行承載分析、性能分析和動力學分析的難點。

直齒圓柱齒輪的齒廓曲線比較復雜，包括齒根圓弧、齒根過渡曲線、漸開線和齒頂圓弧。尤其是齒根部分的過渡曲線，齒輪的加工方式不同，所形成的過渡曲線也不一樣。為了得到精確的齒廓曲線，必須通過數學模型來描述齒廓的各段曲線，并結合UG表達式強大的參數化功能實現其精確造型設計。

1 U G的參數化設計理念

UG是一款集CAD/CAM/CAE于一體的高端軟件，功能覆蓋了從概念設計到產品生產的整個過程，廣泛應用于汽車、航空、航天、模具設計、醫療器材等各個領域。其強大的參數化設計功能，使得復雜實體造型成為可能。所謂參數化設計就是對零件上各個特征施加各種約束，各個特征的幾何形狀與尺寸大小用變量參數的方式來表示，如果定義某個特征的變量參數發生了改變，則零件的這個特征的幾何形狀或尺寸的大小將隨參數的改變而改變。通過把參數、關系和參照元素等零部件設計意圖融入到圖形模型里，利用多組參數驅動零部件的特征尺寸和位置尺寸以完成其三維建模；通過對參數的不同賦值實現對三維模型的重建或修改。UG進行參數化設計采用由算術或條件語句構成的表達式，通過UG的表達式建立齒廓曲線方程和與齒輪幾何尺寸相關的計算公式，生成齒廓曲線，并通過特征操作實現齒輪的完全參數化設計，精確建立齒輪的三維模型，從而提高齒輪的設計效率。

2 齒輪齒廓曲線的表達式的建立

2.1 基本參數表達式的建立

先在表達式對話框中輸入齒輪和齒條形刀具的基本參數表達式[1]，便于后面的表達式引用，具體為：

t=0//UG內部變量，變化范圍0~1；

m=3//齒輪模數，建立不同模型時可以更改；

z=20//齒數，建立不同模型時可以更改；

c?=0.25//頂隙系數；

r=m.z/2//齒輪的分度圓半徑；

α=20°//漸開線在分度圓上的壓力角；

invα=tanα-radα //漸開線在分度圓上對應的極角；

sa=m? (pi()/2-2h?a? tan α )//齒條的齒頂厚；

sb=rb?(pi()?m/(2?r)+2?invα )//基圓齒厚；

pb=pi()?m? cos(α )//基圓齒距；

rb=r?cos(α)//基圓半徑；

2.2 齒根圓弧表達式的建立

齒輪的齒根部分為一小段圓弧，根據齒根半徑和角度范圍可確定齒根圓弧直角坐標公式如下：

建立表達式為：

tf=deg(b*t/r)//齒根圓弧的角度范圍；

rf=m*(z-2*h?a-2*c?)/2//齒根圓半徑；

xf=rf*cos(tf)//齒根圓弧的x坐標；

yf=rf*sin(tf)//齒根圓弧的y坐標；

zf=0//齒根圓弧的z坐標；

2.3 過渡曲線表達式的建立

1）當漸開線齒輪范成加工時，刀具切入基圓所留下的軌跡，相當于刀具與齒輪之間的無間隙嚙合運動。過渡曲線與齒輪加工方式有關，但其原理基本相同。標準齒條刀具頂部比普通齒條多出一段 c?m，用于被加工齒輪的齒根部分切出齒頂間隙[2]。

現以圖1所示齒條形刀具參數為例進行分析，刀具齒廓的頂部有兩個圓角，cp是圓角的圓心，刀具各參數間具有以下關系：

式中：刀齒圓角半徑rp，a為點 cp至中線的距離；b為點cp至齒形中心線的距離。

在用齒條形刀具加工齒輪時，節線ω繞節徑為r的定圓做純滾動，如圖2所示，與節線固連的點E（刀齒圓角圓心）的運動軌跡 s1為延伸漸開線，s2為其等距線，齒輪的過渡曲線為 s2的一部分。根據幾何關系，可得過渡曲線的直角坐標公式如下：

式中：?為過渡曲線的擺角，α1為參變角。在過渡曲線的形成過程中 ?從0變化到最大值，?的最大值公式和 α1與 ?的關系式為：

式中：αq為過渡曲線與漸開線相切點對應的壓力角。 ?=0時，為避免α1的分母為零，xg，yg的表達式采用UG的if…else…的語法結構。過渡曲線的起始點（?=0）應與齒根圓的終點相切，所以如圖2所示的過渡曲線圖形應逆時針旋轉到 tf的最大值。

圖2 過渡曲線形成示意圖

2）根據以上分析，輸入表達式為：

maxtf=deg(b/r)//tf的最大值圖3漸開線形成示意圖；

rq=sqrt(rb^2+(r*sin α -h?a*m/sin α )^2)//過渡曲線與漸開線相切點對應的極徑；

αq=arccos(rb/rq)//過渡曲線與漸開線相切點對應的壓力角；

l=(rb*tanα-rb*tanαq)*cosα-sa/2+b//擺角對應的節圓弧長；

?=deg(l/r)*t//過渡曲線的擺角

xg=if(t＆gt;0)(r*cos(maxtf-?)-(a/sin((arctan(a/(r*rad ?))))+rp)*sin((arctan(a/(r*rad?)))+(maxtf-?)))else((r-a-rp)*cos(maxtf))//過渡曲線的x坐標；

yg=if(t＆gt;0)(r*sin(maxtf-?)+(a/sin((arctan(a/(r*rad ?))))+rp)*cos((arctan(a/(r*rad?)))+(maxtf-?)))else((r-a-rp)*sin(maxtf))//過渡曲線的y坐標；

zg=0//過渡曲線的z坐標；

2.4 漸開線表達式的建立[3]

1）漸開線形成示意圖，如圖3所示，其直角坐標公式如下[3]：

式中：tf=θj+ αj，θj為漸開線的極角，αj為漸開線的壓力角。漸開線的起始點應與過渡曲線的終點相切，所以，圖3所示的圖形應逆時針旋轉θb，經計算θb＝(pb－sb)/2rb。漸開線的起始點是刀具的切出點，不一定在基圓上。

圖3 漸開線形成示意圖

2）根據以上分析，輸入表達式為：

ra=(m*z+2*h?a*m)/2//齒頂圓半徑；

αj=arccos(rb/ra)//齒頂圓與漸開線交點處對應的壓力角；

tj=deg(tan(αq+(αj-αq)*t))//tj的變化范圍；

θb=deg((pb-sb)/(2*rb))//圖形逆時針旋轉角度；

xj=rb*cos(θb+tj)+rb*rad(tj)*sin(θb+tj)//漸開線x的坐標；

yj=rb*sin(θb+tj)-rb*rad(tj)*cos(θb+tj)//y坐標；

zj=0//z坐標；

2.5 齒頂圓弧表達式的建立

齒頂部分同樣為一小段圓弧，其直角坐標公式如下：

式中：ra為端面齒頂圓半徑，γ為端面齒頂圓展角，θ為端面齒頂圓齒厚對應圓心角。表達式為：

γ=deg(tanαj-radαj)//αj處端面齒頂圓展角；

θ=deg(pi()/z)//端面齒頂圓齒厚對應圓心角；

xa=ra*cos(θb+invαj+(θ -(θb+invαj))*t)//齒頂圓弧的x坐標；

ya=ra*sin(θb+inv αj+(θ-(θb+invαj))*t)//齒頂圓弧的y坐標；

za=0//齒頂圓弧的z坐標；

3 參數化設計

3.1 參數化設計步驟

漸開線直齒圓柱齒輪參數化設計的關鍵是齒輪相關參數的建立，在UG中的設計過程如下[4]：

1）建立相互關聯的表達式；

2）使用基本曲線功能中的規律曲線選項，通過方程式，并利用已經建立的表達式繪制出齒根圓弧、過渡曲線、漸開線曲線、齒頂圓弧，從而形成首尾相接的單個齒槽線串；

3）進入草圖，以齒根圓弧的圓心畫出齒頂圓，一定要用表達式來定義齒頂圓的直徑；

4）利用相關的特征操作（拉伸、沿引導線掃描、沿圓周陣列）完成漸開線齒輪的三維建模。初始化齒輪，如圖4所示。

3.2 表達式的生成

對直齒圓柱齒輪而言，其端面是漸開線，符合齒廓嚙合基本定律，即可改變齒數z、模數m、壓力角α等常用參數，可以得到不同的直齒圓柱齒輪的三維模型。齒輪參數化設計方法大體分兩種：1）對現有軟件進行二次開發，需要編程；2）利用UG軟件已有的功能實現參數化設計，尤其UG具有強大的表達式功能。利用2）方法更具通用性，建立表達式可以用以下兩種方式：（1）選擇Tools＆gt;Expressions，直接輸入表達式。（2）建立一個文件名稱用英文字母或數字表示的純文本文檔，并輸入相關的表達式，保存并關閉后更改文件擴展名為.exp；然后在UG中選Tools＆gt;Expres?sions＆gt;Import，輸入建立.exp文件。

3.3 參數化實現

直齒輪的參數化實現要求齒輪能夠實現在其設計要求發生改變時，它的結構尺寸也相應地改變以滿足新的設計需要。為此，只需要將上述所建立的齒輪實體模型的相關特征參數進行更改，就可以生成各種相關參數的齒輪三維模型[5]。特征參數的修改可以利用以下方式：

1）將生成特征實體的參數生成數據文件，利用系統自帶的UG／Open GRIP語言進行編程，實現對齒輪參數的修改。

2）利用UG系統所具有電子表格功能編輯、定義和修改相關表達式及參數，通過更新完成齒輪的自動建模，從而實現齒輪的可參數化控制。

3）最直接的方式是通過編輯表達式中的特征參數來實現齒輪模型的重新自動建模。選取需要更改的參數表達式，并重新對表達式直接修改來實現完全參數驅動。基本參數更改后的齒輪模型，如圖5所示。

圖4 初始化齒輪模型

圖5 參數更改的齒輪模

4 結 論

本文所提的齒輪建模方法是以齒輪的輪廓曲線公式為依據，通過建立表達式控制曲線形狀，并且通過表達式實現了參數化，所建立的模型與實際加工得到的齒輪形狀相一致，實現齒輪的參數化設計和自動特征建模，提高漸開線圓柱直齒輪的設計效率和質量，為齒輪的力學分析、運動分析等做了符合實際的準備工作。本方法在UG8.0平臺上實踐通過。

[1] 張策.機械原理與機械設計[M].第2版.北京：機械工業出版社，2010.

[2] 吳繼澤,王統.齒根過渡曲線與齒根應力[M].北京：國防工業版社，1989.

[3] 朱景梓,張展,秦立高.漸開線外嚙合圓柱齒輪傳動[M].北京:國防工業出版社,1990.

[4] 袁鋒.使用UG軟件的機電產品三維數字化設計教程[M].北京：高等教育出版社，2011.

[5] 孫江宏.基于UG的直齒圓柱齒輪參數化實體設計通用方法[J].機械科學與技術,2002(11):25－27.