數學轉化與化歸思想例談

數學思想方法是數學的精髓，它能把數學知識與技能轉化為分析問題和解決問題的能力，體現數學學科的特點，幫助學生形成數學素質。在解決數學問題時，觀察、分析、類比、聯想等方法能把難題轉化為學生熟悉的問題，從而達到解決問題的目的。這一思想方法我們稱之為“轉化與化歸的思想方法”，它體現了數與形的相互轉化。如函數與方程思想體現了函數、方程、不等式間的相互轉化，分類討論思想體現了局部與整體的相互轉化。轉化與化歸的基本類型主要包括一般與特殊轉化、正向與反向的轉化、常量與變量的轉化、數與形的轉化、數學各分支之間的轉化、相等與不等之間的轉化、實際問題與數學模型的轉化。筆者就其中四種轉化與化歸問題做了膚淺的歸納與總結，供同仁參考。

一、一般與特殊的轉化

在解題時，有時需要把一般問題化為特殊問題，有時需要把特殊問題轉化為一般問題，目的在于降低解題的難度，從而使問題迎刃而解。

例1.在多面體ABCDEF中，已知AB、CD是邊長為3的正方形，EF∥AB，EF=■，EF與面AC的距離為2，求該多面體的體積。

分析：在AB上取點G，使AG=EF，在DC上取點H，使DH=EF，連接FG、FH，則ADE和GHF是三棱柱，F-GBCH是四棱錐，這個三棱柱的直截面面積=■×3×2=3，側棱EF=■。所以，它的體積V1=3×■=■，四棱錐的體積V2=■×3×■×2=3。所以，多面體ABCDEF的體積V=V1+V2=■+3=■。

切割與補是的方法能把一般問題轉化為特殊問題的思想。此題正是通過切割方法，把我們不熟悉的多面體轉化為我們熟知的幾何體，從而使問題得以解決。

例2.設f （x）=■，求和f（■）+f（■）+…f（■）。

分析：這道題目如果直接求解，根本無從下手。分析結論的數量特征可知■+■=1，■+■=1，■+■=1……由此，我們可以將問題轉化為研究f （x）=■的結論特點。

∵f （a）+f（1-a）=■+■=■+■=■+■=1

∴f（■）+f（■）+…f（■）

=f[（■）+f（■）]+f[（■）+f（■）]+…f[（■）+f（■）]=1001

此題從研究結論的特殊性入手，得出一般性結論f （a）+f （1-a）=1，體現了把特殊問題轉化為一般問題的解題思想。

二、正向與反向的轉化

對于那些從正面難于解決或運算量大的問題，我們可從側面或反面，運用正難則反的方法來解決問題。

例3.試求常數m的范圍，使曲線y=x2的所有弦都不能被直線y=m（x-3）垂直平分。

分析：“不能”的反面是“能”，被直線垂直平分的弦的兩端點關于此直線對稱，這就把問題轉化為“拋物線y=x2上存在兩點關于直線y=m（x-3）對稱，求m的取值范圍”，再求出m的取值集合的補集就為原問題的解。

拋物線上兩點（x1，x12）、（x2，x22）關于直線y=m（x-3）對稱，滿足：

■=m（■-3）■=-■ ∴x12+x22=m（x1+x2-6）x1+x2=-■

消去x2，得2x12+■x1+■+6m+1=0

∵x1∈R1， ∴△=（■）2-8（■+6m+1）>0

∴（2m+1）（6m2-2m+1）<0，∴m<-■

即當m<-■時，拋物線上存在兩點關于直線y=m（x-3）對稱，而題中要求所有弦都不能被直線垂直平分，則所求的范圍為m≥-■。

在運用補集的思想解題時，我們一定要清楚結論的反面是什么。這道題目中，所有的弦都不能被直線y=m（x-3）垂直平分的反面是“至少存在一條弦能被直線y=m（x-3）垂直平分”，而不是“所有的弦都能被直線y=m（x-3）垂直平分”。

三、常量與變量的轉化

在處理多變元的數學問題時，我們可以選取其中的常量（或參數），將其看作“主元”，把其他的變元看作常量，從而達減少變元簡化的運算。

例4.設f （x）=1g■，其中a∈R，n是任意給定的自然數，且n≥2，如果x∈（-∞，1]時，f （x）有意義，求a的取值范圍。

本題有三個變元a、n、x，不僅條件復雜，而且解題方向不明確。若選擇a為“主元”，把n、x看作“常量”，運用常量與變量轉化的策略，問題就容易解決了。由題意可知：

1+2x+…+（n-1）x+nxa>0

∴a>-[（■）x+（■）x+…（（■）x）]

∵n≥2，x∈（-∞，1]，∴（■）x+（■）x+…+（■）x≥■+■+…+■=■

∴a>-■

例5.對于|p|≤2的所有實數p，求使不等式x2+px+1>2x+p恒成立的x的取值范圍。

此題如果把不等式看作關于x的二次不等式，則求解過程相當繁瑣。如果把不等式看做是關于p的一次不等式，就可以簡化求解過程，這就是變量與常量的轉化。

四、數與形的轉化

通過數與形的轉化，可以利用數量關系來研究圖形的性質，也可以利用幾何圖形直接反映函數或方程中變量之間的關系，有時還能利用幾何圖形的提示來解決問題。

例6.函數f （x）=■-■的最大值是 。

將方程式配方為■-■，把它轉化為幾何問題，研究它所表示的幾何意義。

f （x）=■-■的幾何意義是拋物線y=x2上的動點M（x，x2）到點P（3，2）、點Q（0，1）的距離之差。如圖2所示，由平面幾何知識可知，|MP|-|MQ|≤|PQ|，所以當M點位于直線PQ與拋物線的交點R時，f （x）的最大值為|PQ|=■。

例7.當a為何值時，方程■=2有唯一解？有兩解？無解？

分析：將原方程式等價轉化：lg2x=2lg（x+a），（x+a≠1）？圳lg■=lg（x+a），（x+a≠1）

？圳2x>0x+a>0■=x=a

且x+a≠1？圳x>0且x+a≠1■=x+a？圳■=x+a（x>0且x≠■）。在同一坐標內，作出y=■（x>0且x≠■）及y=x+a的圖像。如圖3所示，則方程的解的個數等于直線y=x+a與拋物線弧y=■（x>0且x≠■）交點個數。當a=■時，直線y=x+a與拋物線弧y=■切于點（■，1）。由圖3可知：當a≥■時，原方程無解；當a≤0，原方程有唯一解；當0

轉化與化歸思想能把陌生的問題轉化為熟悉的問題，把難解的問題轉化為易解的問題，將抽象的問題轉化為直觀的問題。如果學生能夠很好地把這種數學思想運用于數學學習，必定能取得良好的效果。

（作者單位：江西省高安市高安中學）