巧用“菱形模型”解決帶電粒子在磁場中偏轉問題

摘 要：帶電粒子在磁場的運動問題，在高考中要求很高，主要考察了學生運用數學方法解決物理問題的能力，而要掌握這種能力，就要求學生能夠建立起模型，模型的建立包括運動模型、幾何模型等。

關鍵詞：建立幾何模型；菱形模型

中圖分類號：G4

帶電粒子在磁場中的運動問題，在高考中要求很高，主要考察了學生運用數學方法解決物理問題的能力，而要掌握這種能力，就要求學生能夠建立起模型，模型的建立包括運動模型、幾何模型等。

帶電粒子（不計重力）在磁場中運動的基本模型：

1.運動模型：變化的FB使粒子做勻速圓周運動，其運動規律分別從時間（周期）、空間（半

徑）兩個側面給出如下表達形式：T=，r=.

2.幾何模型：

（1）如圖：粒子速度的偏向角（）等于回旋角（圓心角α），并等于AB弦與切線的夾角（弦切角）的2 倍（如圖），即=α=2=t.

（2）對稱性：如從同一邊界射入的粒子，從同一邊界射出時，速度與邊界的夾角相等；在圓形磁場區域內.沿徑向射入的粒子，必沿徑向射出。

下面我想介紹一下帶電粒子在磁場中運動的另一種模型--菱形模型，以求與廣大同仁共同探討。

一、 模型的建立

菱形模型：真空中有一半徑r的圓柱形勻強磁場區域，磁場方向垂直于紙面向里，Ox軸為過磁場邊界上的O點的切線，若帶電粒子在場中的偏轉半徑也為r，，則在紙面內從O點向各個方向發射的速率相同的同種帶電粒子，從圓形磁場邊界射出時，速度方向均與Ox軸平行。

[證明]：設帶電粒子間的相互作用可忽略不計，帶電粒子速率為v0，電量為q，質量為m，如圖，圓O1為半徑r的圓柱形勻強磁場區域，磁場方向垂直于紙面向外。Ox軸為過磁場邊界上的O點的切線。如果從O點射出的粒子的軌道半徑和磁場區域圓O1的半徑相等，則無論粒子入射的速度方向與x軸的夾角為何值，由入射點O、出射點A、磁場圓心O1和軌道圓心O2一定組成一個邊長為r的菱形，于是有O1O//O2A，則O2A垂直Ox，即O2A與粒子出射的速度方向垂直，故所有粒子射出磁場時，速度方向均與Ox軸平行。

二、 模型的應用

【2010年大連雙基】如圖16所示，真空中有一以（r，O）為圓心，半徑為r的圓柱形勻強磁場區域，磁場的磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面向里，在y≤一r的范圍內，有方向水平向右的勻強電場，電場強度的大小為E。從O點向不同方向發射速率相同的電子，電子的運動軌跡均在紙面內。已知電子的電量為e，質量為m，電子在磁場中的偏轉半徑也為r，不計重力及阻力的作用，求：

（1）電子射入磁場時的速度大小；

（2）速度方向沿x軸正方向射入磁場的電子，到達y軸所需的時間；

（3）速度方向與x軸正方向成30°角（如圖中所示）射入磁場的電子，到達y軸的位置到原點O的距離。

解析：（1）電子射入磁場后做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力

由得

（2）電子沿x軸正方向射入磁場經圓弧后，以速度v垂直于電場方向進入電場，

由于 所以，電子在磁場中運動的時間為

電子進入電場后做類平拋運動，沿電場方向運動r后達到y軸，因此有

所求時間為

（3）電子在磁場中轉過120°角后從P點垂直電場

方向進入電場，如圖所示P點距y軸的距離為

設電子從進入電場到達到y軸所需時間為t3，則

由得：

在y方向上電子做勻速直線運動，因此有

所以，電子到達y軸的位置與原點O的距離為

【點評】本題是菱形模型的又一典型應用，學生若對菱形模型有較深的理解，將會非常清晰的明確粒子的出射方向，那么畫起粒子運動軌跡將會水到渠成，做起此題也顯得事半功倍。