以直代曲思想與其物理意義

摘要 本文從以直代曲的思想、導數的物理意義以及結合數學演繹法出發，對函數逼近理論進行探討，從感性認識出發，進而的到理性的結論. 從而讓讀者加深用多項式來逼近函數的思想.

關鍵詞 加加速度；廣義直；以直代曲；函數逼近

中圖分類號：G4

一、廣義直

曲線的性態描述中，直線f（x）=kx+b是最容易理解的，在圖象上表現為幾何形態上是直的. 而其數學分析的意義卻表現為f′（x）=k，即曲線上任意一點的增長率是恒定的，是均勻的，表現為某種常態. 如若視之為時間-位移問題，那么其表現為，速度是保持不變的，也通常被稱為勻速運動，這也可以看成是一種常態，因為合力大小為0.

在經典物理力學中，還有一類直線運動：勻加速直線運動，其位移-時間函數為

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這之中也包含著一種均勻，即合力是恒定的，其數學分析意義在于s″（t）=a是常數. 在工程技術上，尤其是對動力系統的研究中，還會提及加加速度的概念. 而加加速度所描述的是單位時間內加速度的變化率，其應用價值也十分廣泛.

定義1.1 加加速度[4] 在直線運動中，設質點的加速度方程為a（t），t∈U（t0），如果極限

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存在，那么記為，稱j（t0）為質點在t=t0時刻的加加速度.

從數學分析的角度看加加速度，實則是位移-時間函數的三階導數，即

或者，在任意時刻有形式.

引起加加速度的主要原因是合力隨時間的變化而發生了變化. 如果質點在任意時刻的加加速度是恒定的，即三階導函數是一常數. 說明在單位時間內，合力的變化也就是恒定的.

縱觀以上所提及的概念，總可以看到\"恒定、均勻\"等描述的某種不變性，同時，在提及這類特性的時候，其數學分析的意義總也很清晰，即：函數的某階導函數是常數，或

f（k）（t）=c這里k是非負整數，c≠0為某個常數.

正因為如此，本文將對此類問題進行凝練，給出關于直的廣義定義.

定義1.2 如果函數y=f（t）在區間（a，b）內有定義，具有k導數，并且t∈（a，b）

f（k）（t）=c這里k是非負整數，c≠0為某個常數.

則稱曲線y=f（t）在區間（a，b）內是k階廣義直的.

定理1 如果曲線y=f（t）在區間（a，b）內是k階廣義直的. 那么

y=f（t）=a0+a1t+a2t2+...+aktk.

其中，系數ak≠0. 即，k階廣義直的函數是一個k次多項式.

證明：由定義1.2，曲線y=f（t）在區間（a，b）內是k階廣義直的，那么

f（k）（t）=c這里k是非負整數，c≠0為某個常數.

該微分方程的通解為：（兩邊同時積分，進行k次即可）

y=f（t）=a0+a1t+a2t2+...+aktk.

其中系數，而系數an，n=0，1，2，...，k-1是任意常數.

推論1 除多項式外的一切初等函數都不是k階廣義直的.

證明：由反證法，立得結論.

廣義直刻畫了函數的某種屬性，即某種變化率是恒定的. 換言之，它的某階導函數是一個定值，影響其變化的某個因素是固定不變的，有種相對靜止的狀態. 從計算效果看，這種廣義直的函數的相關計算是十分方便的，其所涉及的只有整數冪和加法、乘法結構.

從質點的直線運動看，具體來說：

0階廣義直，表明該質點呈靜止狀態；

1階廣義直，表明該質點作勻速直線運動，它受到外力為0；

2階廣義直，表明該質點作勻加速直線運動，它所受到的外力為恒定的（不等于0）.

3階廣義直，（假設在其他因素不變的情況下）表明該質點所受外力的變化率也是恒定的.

例 設質點的質量為m，受到外力大小為F（t）=kt（k>0為常數其量綱為M·L·S-3，方向恒定沿質點的運動方向）. 設初始時間為0，初始位移大小為0，初始速度大小為0. 則該質點的位移-時間函數為：

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二、微分學以直代曲思想[3]

微分學的精髓在于以直代曲這一思想的提出，從極限與導數定義出發，給出了一種對工程問題的近似計算方法.

設函數f（t）在t=t0處可微（可導），當|t-t0|很小時，有近似結果：

f（t）≈f（t0）+f′（t0）（t-t0）.

這里采用的是用直線方式（1階廣義直）的近似法來計算的. 從質點作直線運動的狀態看，即，知道某處的速度，去了解之后的運動狀態. 這種局限性是顯然的，這同時也就意味著這樣的近似效果是不佳的. 或者說，從中了解到的信息是不夠的，如果能夠進一步了解到，該質點的加速度呢，進一步也了解了加加速度呢...，那么信息量的增多，勢必近似出來的效果也將更佳.

三、廣義以直代曲

本段將提及廣義以直代曲的思想. 顯然，僅用直線方式去逼近函數，在很大程度上是不能滿足實際要求的，這就要設計出更好的方案，以滿足不同的需求.

廣義以直代曲思想 設函數f（t）在t=t0處具有n階導數且f（n）（t0）≠0，當|t-t0|很小時，可以利用近似結果：

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這里采用階廣義直函數作為逼近.

為了對上述結論提供更多的理論依據，本段將從結合高階導數的物理意義和數學演繹法，得到本文中心思想，即廣義意義下以直代曲思想.

首先，假定函數f（t）（已知的）在t=t0處具有n+1階導數，認為f（t）是質點A的位移-時間函數，而廣義直函數Pn（t）=a0+a1（t-t0）+a2（t-t0）2+...+an（t-t0）n（待定的，即系數是未知的）視為質點B的位移-時間函數，為了用Pn（t）來逼近函數f（t），那么，Pn（t）中所含的各項系數其次，為了更方便地去估計誤差，這里給出泰勒中值定理.

定理2 （泰勒（Taylor）中值定理）[3] 如果函數f（t）在含有t0的某個開區間（a，b）內具有直到階的導數，則對任一t∈（a，b）有

其中是位于與之間的某個值.

那么對于本文用以直代曲的思想，所得到的近似計算結果中，其誤差分析也可以得到相應的結果[3]. 即.

顯然，當t→t0時，余項是（t-t0）n的高階無窮小. 因此，當很小時，可以利用近似結果：.

其誤差不超過.

參考文獻

[1]Adedigbo A. Fasanmade and Anthony F. Fell， Determination of chlorpromazine and its sulphoxide in pharmaceutical dosage forms by third-order derivative ultraviolet spectroscopy， Analyst， 1985，110， 1117-1124

[2]李艷會，王高雄，周之銘，朱思銘，等《常微分方程》（第三版），高等教育出版社

[3]同濟大學數學系，《高等數學（上）》（第六版），高等教育出版社

[4]譚淑梅，楊景芳.質點運動的加加速度《高師理科學刊》2004年第02期 中國知網

[5]葉柏年，點的加加速度，力學與實踐，1988， 10，51-53