數學解題思想淺談之分類討論

參數廣泛地存在于中學數學的各類問題中，也是近幾年來高考重點考查的熱點問題之一。以命題的條件和結論的結構為標準，含參數的問題可分為兩種類型，。一種類型的問題是根據參數在允許值范圍內的不同取值（或取值范圍），去探求命題可能出現的結果，然后歸納出命題的結論；另一種類型的問題是給定命題的結論去探求參數的取值范圍或參數應滿足的條件。本文擬就第一類問題的解題思想方法――分類與討論作一些探討，不妥之處，敬請斧正。

解決第一類型的參數問題，通常要用\"分類討論\"的方法，即根據問題的條件和所涉及到的概念；運用的定理、公式、性質以及運算的需要，圖形的位置等進行科學合理的分類，然后逐類分別加以討論，探求出各自的結果，最后歸納出命題的結論，達到解決問題的目的。它實際上是一種化難為易。化繁為簡的解題策略和方法。

一、科學合理的分類

把一個集合A分成若干個非空真子集Ai（i=1、2、3···n）（n≥2，n∈N），使集合A中的每一個元素屬于且僅屬于某一個子集。即

① A1∪A2∪A3∪···∪An=A

②Ai∩Aj=φ（i，j∈N，且i≠j）。

則稱對集A進行了一次科學的分類（或稱一次邏輯劃分）

科學的分類滿足兩個條件：條件①保證分類不遺漏；條件②保證分類不重復。在此基礎上根據問題的條件和性質，應盡可能減少分類。

二、確定分類標準

在確定討論的對象后，最困難是確定分類的標準，一般來講，分類標準的確定通常有三種：

（1）根據數學概念來確定分類標準

例如：絕對值的定義是：

所以在解含有絕對值的不等式|logx|+|log （3-x）|≥1時，就必須根據確定logx ，

log（3-x）正負的x值1和2將定義域（0，3）分成三個區間進行討論，即0

1≤x<2，2≤x<3三種情形分類討論。

例1、 已知動點M到原點O的距離為m，到直線L：x=2的距離為n，且m+n=4

（1） 求點M的軌跡方程。

（2） 過原點O作傾斜角為α的直線與點M的軌跡曲線交于P，Q兩點，求弦長|PQ|的最大值及對應的傾斜角α。

解：（1）設點M的坐標為（x，y），依題意可得：+= 4

根據絕對值的概念，軌跡方程取決于x>2還是x≤2，所以以2為標準進行分類討論可

得軌跡方程為：y = y

解（2）如圖1，由于P，Q的位置變化， Q

弦長|PQ|的表達式不同，故必須分 -1

點P，Q都在曲線y2=4（x+1）以及一點 P

在曲線y2=4（x+1）上而另一點在

曲線y2=-12（x-3）上可求得：

從而知當或時，

（2）根據數學中的定理，公式和性質確定分類標準。

數學中的某些公式，定理，性質在不同條件下有不同的結論，在運用它們時，就要分類討論，分類的依據是公式中的條件。

例如，對數函數y=logax的單調性是分01兩種情況給出的，所以在解底數中含有字母的不等式；如logx>-1就應以底數x>1和01時，， 當0

又如，等比數列前幾項和公式是分別給出的：

所以在解這類問題時，如果q是可以變化的量，就要以q為標準進行分類討論。

例2，設首項為1，公比為q（q>0）的等比數列的前n項和為Sn，又設Tn=，n=1，2，···

求Tn

解：當q=1時，Sn=n，Tn= ，

當q≠1時，Sn=

于是當0

當q>1時，

綜上所述，

（3）根據運算的需要確定分類標準。

例如：解不等式組

顯然，應以3，4為標準將a分為14三種情況進行討論。

例3，解關于x的不等式組

其中a>0且a≠1。

解，由于不等式中均含有參數a，其解的狀況均取決于a>1還是a<1，所以1為標準進行分類，

（Ⅰ）當0

（Ⅱ）當a>1時，可解得：， 此時不等式組是否有解關鍵取決于 與2的大小關系，所以以 即a=3為標準進行第二次分類。

（1） 當1

（2） 當a>3時解集為

綜上所述：當0

當a>3時，解集為 （2， .

三、分類討論的方法和步驟

（1） 確定是否需要分類討論以及需要討論時的對象和它的取值范圍；

（2） 確定分類標準科學合理分類；

（3） 逐類進行討論得出各類結果；

（4） 歸納各類結論。

例4，若函數f（x）=a+bcosx+csinx的圖象經過點（0，1）和（，1）兩點，且x∈[0，]時，|f（x）|≤2恒成立，試求a的取值范圍。

解：由f（0）=a+b=1，f（）=a+c=1，求得b=c=1-a

f（x）=a+（1-a）（sinx+cosx）=a+（1-a）sin（x+）

∵

①當a≤1時，1≤f（x）≤a+（1-a）∵|f（x）|≤2∴只要a+（1-a）≤2解得a≥∴-≤a≤1；②當a>1時，a+（1-a）≤f（x）≤1，∴只要a+（1-a）≥-2，解得a≤4+3 ， ∴1

例5，已知函數f（x）=sim2x-asim2

試求以a表示f（x）的最大值b。

解：原函數化為f（x）=

令t=cosx，則-1≤t≤1

記g（t）=-（。t∈[-1，1]

因為二次函數g（t）的最大值的取得與二次函數y=g（t）的圖象的頂點的橫坐標相對于定義域[-1，1]的位置密切相關，所以以相對于區間[-1，1]的位置分三種情況討論：

（1） 當-1≤≤1，即-4≤a≤4時，b=g（t）max=， 此時t= ；

（2） 當<-1， 即a<-4時，b=-a ， 此時 t=

（3） 當>1， 即a>4時，b=0， 此時， t=1

綜上所述：b=

分類討論的思想是一種重要的解題策略，對于培養學生思維的嚴密性，嚴謹性和靈活性以及提高學生分析問題和解決問題的能力無疑具有較大的幫助。然而并不是問題中一出現含參數問題就一定得分類討論，如果能結合利用數形結合的思想，函數的思想等解題思想方法可避免或簡化分類討論，從而達到迅速、準確的解題效果。