活用課本例、習題，培養學生數學“問學”意識

【摘要】讓教師和學生共同分擔發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的責任，需要更加關注和研究如何讓學生問.課本例、習題教學，是培養學生數學\"問學\"意識的重要一環.本文從重設例、習題的出現情境，激發學生\"想問\"的愿望；調整例、習題的梯度，促進不同發展水平的學生\"能問\"、\"敢問\"；打破例、習題出現的時空，領悟其蘊含的思想方法，引領學生會問做了一些探討.

【關鍵詞】活用課本例、習題；問學意識

中圖分類號：G623.5

愛因斯坦說過：\"提出一個問題比解決一個問題更重要\".做學問是\"學\"與\"問\"的結合，而我們的學生往往只鐘情于學，卻棄問于不顧.一個重要原因就是，問題往往由教師\"包干\"，教學時，問題由教師一個一個提出，而學生只是等待著教師的提問，學生根本就沒有提出問題的空間.如何讓教師和學生共同分擔發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的責任，需要更加關注和研究如何讓學生問.陶行知先生曾說過：\"發明千千萬，起點在一問\".美國教育家布魯巴克也說：\"最精湛的教學藝術，遵循的最高準則是讓學生自己提問\".教師在教學中嘗試對課本典型的例、習題進行挖掘，引導學生發現問題、提出問題，主動思考，積極討論，既整合了學生的知識體系，又在提問中培養學生怎樣問、為什么這樣問的\"問學\"意識，達到開闊視野、觸類旁通、可持續發展的效果.

一、重設例、習題的情境，讓其背景鮮活起來，更貼近學生的\"最近發展區\"，激發學生\"想問\"的愿望

課本例、習題只是給學生提供了一個素材，而不一定是適合每一位學生學習的最佳范本，師生對之完全有創造的空間.課本例、習題有的缺乏生活氣息或脫離學生的實際發展水平.如果對其賦予與學生密切相關的情境，或生活情境或與自身發展相適應的數學情境，可以激發其\"想問\"的愿望.

例1 如圖1-1，點A、B在直線l同側，點B，是點B'關于l的對稱點， AB交l于點P.

（1） AB，與AP+PB相等嗎？為什么？

（2） 在l上再取一點Q，并連接AQ和QB，比較AQ+QB與AP+PB的大小，并說明理由.

例2 如圖1-2，要在街道l旁修建一個奶站，向居民區A、B提供牛奶，奶站應建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短？試說明其道理.

點評：例2與例1相比，解決入口更加寬泛.有的學生憑直覺猜想；有的利用物理學中的鏡面對稱來解決；還有的學生考慮和例1的關系等.其次，背景更貼近學生生活實際，學生感覺奶站位置重要，自然而然就會問，位置在哪里？位置唯一嗎？同時也啟示學生：數學就在你身邊！問題是會不會把實際問題轉化為數學問題，并用數學的有關知識來解答.

例3 三角形高的畫法與識別

①（在圖形的位置變化下）如圖1-3，在三個圖形上，分別畫出△ABC中AC邊上的高.

②（在復雜的圖形中）如圖1-4，填空△ABC的BC邊上的高是______；以AD為一條高的所有三角形為______；以CE為一條高的所有三角形為______.

③（在圖形的運動中）如圖1-5，BD、BE、BF分別為△ABC的中線、角平分線和高.回答：（1）當點C沿CA向點A運動時，BF的長短和位置是否發生變化？如果發生變化，分析其變化的情況.（2）當點C沿CA向點A運動時，BD、BE的變化情況是否與BF相同？BD、BE的位置是否可在△ABC的外部或邊上？

點評：本題源于課本而又高于課本.讓學生感悟三角形的位置不同、形狀不同、運動狀態不同，高的內涵與外延能否正確把握.進一步啟發學生提出問題：怎樣才算掌握了與圖形有關的概念？給你什么啟示？讓學生對今后研究類似數學概念提供探究的方向：復雜的背景下、運動的狀態中能否抓住概念的特征來識別圖形？學生知道概念的來龍去脈，以后提出研究的問題信心就增強了。

二、調整例、習題的梯度，讓不同發展層次的學生能問、敢問，并在相互的交流中學習提出問題的方法

課本中的例、習題一般有兩類：一類是直接套用剛學習的規則、公式、概念、命題和鞏固相關技能；另一類則需要通過適當的嘗試、猜想、驗證、轉化等手段逐步探索其解.對于這兩類題目，都可以適當、適時增大或減小梯度，以滿足不同發展水平的學生需要，讓學生在各自\"跳一跳、摘桃子\"的領域敢于提問、能夠提問、樂于提問，享受成功的喜悅，激發起新的更高的學習熱情.

例4 如圖1-6，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，四邊形EFGH是平行四邊形嗎？為什么？

學生讀題后，教師給出思考題：（1）平行四邊形有哪些判定方法？（2）能否直接證明EF∥HG，EF=HG？（3）由E、F、G、H是各邊中點，你能聯想到什么數學知識？（4）圖中有沒有現成的三角形及其中位線？如何構造？（設計意圖：問題（1）激活知識；問題（2）暗示輔助線的添加方法；問題（3）類比聯想；問題（4）考慮轉化）

證明完成后，教師引導學生歸納：我們把四邊形ABCD稱原四邊形，四邊形EFGH稱中點四邊形，可知任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形；輔助線溝通了條件和結論，實現了轉化.原四邊形的一條對角線溝通了中點四邊形一組對邊的（位置、數量）關系.

教師進一步激發學生的探究愿望：如果我們把這一道題變一變條件或者變一變結論，就可以與我們所學的全章的核心知識聯系在一起，大家有沒有興趣自己試一試？（學生大部分躍躍欲試）下面看你能提出多少問題？

生1：例1中如果不是添加輔助線AC，而是連結另一條對角線BD，能證明嗎？如果不是添加一條輔助線，而是兩條都添加，能證明嗎？噢，我看出來了，一條輔助線和剛才的證法是一樣的！兩條嘛，既可以用三角形中位線與第三邊的位置關系，也可以用與第三邊的數量關系，也可以合在一起來使用，都能證明是平行四邊形！

學生討論，總結出四種證明四邊形EFGH是平行四邊形的方法.

生2：老師，我來說，如果原四邊形不是一般四邊形，而是平行四邊形、矩形、菱形、正方形，對了，還有梯形，中點四邊形能是特殊的平行四邊形嗎？

生3：我補充，如果是特殊梯形：直角梯形呢？等腰梯形呢？

生4：如果中點四邊形是矩形、菱形、正方形，有這種可能嗎？原四邊形會是什么樣的四邊形？

生5：老師，如果條件不是四邊形，而是五邊形、六邊形、......，是否可以叫中點五邊形、中點六邊形？它們是不是特殊的五邊形？六邊形？......

學生投入到積極的思考中，他們提出了各自的問題，筆者根據學生提出的問題，及時進行歸類，把與這堂課有關的內容，分組進行討論，經過大約20分鐘以后，學生上臺匯報交流，總結規律.

點評：由于夯實了基礎，突出了新舊知識的聯系，滲透了重要數學思想方法：類比和轉化，為不同發展層次的學生的后續發展鋪設了臺階，促使不同發展層次的學生能從自身的知識水平和能力出發，積極主動地參與提出問題的活動.在學生提問的的同時，教師引導學生作好小結：哪些提問思考的方法引起了你的重視？對你有何啟發？讓學生關注問題提出的方式、方法，提煉一般化和特殊化的思想.

課后反思：在例、習題的教學中，不能就題論題，要引導學生融入\"問題教學\"之中，讓學生參與\"問題教學\"中的\"問\".不但要研究一題多解，而且要根據題目的特點思考問題的變式與引申，有利于知識的聯系與拓廣，能起到舉一反三的作用，使學生掌握問題探究中提出問題的方法.

三、打破例、習題出現的的時空，讓學生透過現象看本質，\"觸摸\"蘊含其中的數學思想方法，促進\"會問\"，提升\"問學\"的效益

數學思想方法是數學的靈魂.在變中尋求不變是數學永恒的追求.例、習題教學中常常要打破其出現的時間、地點，對其進行重組，以比較彼此之間的異同，讓學生\"觸摸\"到其中蘊含的思想方法，對曾經的提問進行反思，增強\"問\"的普適性，提升\"問\"的效益.

例5 （1）一根彈簧長40cm，一端固定，另一端可掛重物，通常所掛物體質量每增加1kg，彈簧伸長2cm.求彈簧長度為45cm時所掛物體的質量.

（2）據資料，海拔每升高100m，氣溫下降0.6℃，山頂的氣溫為12.4℃，求山高.

（3）小明星期天到紅山公園秋游，公園離家25km，小明先乘公共汽車，車速為30km/h，到某站下車后以5km/h的速度步行到公園，共花了1h.問小明步行了多長時間？

（4）一輛汽車的油箱內有油20升，已知該汽車每行駛100公里耗油8升，求汽車內的余油量y（升）與行駛的路程x（公里）之間的函數關系式.

（5）某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.為了擴大銷售，增加盈利，商場決定采取適當的降價措施.經調查發現，在一定范圍內，襯衫的單價每降1元，商場平均每天可多售出2件.如果商場通過銷售這批襯衫每天要盈利1200元，襯衫的單價應降多少元？

以例5（2）為例，在問題起始階段，我常常用這樣的提示語引導學生：海拔每升高100m，氣溫下降0.6℃，那么升高200m呢？升高260m呢？更為一般地，海拔升高xm呢？請注意我是怎樣提問的？你會發現一個類似的問題自己解決嗎？

點評：解決問題首先需要觀察問題的特征 ，發現并總結規律，讓學生比較：這些問題有何異同？在\"變\"中發現了什么？\"不變\"！濃縮知識 ，應付\"萬變\"！同是正比例關系，出現在不同的背景中！讓學生看到，它們的數量關系有著本質上共同的地方.這些具有共同數量關系的問題在不同的情境中呈現，可以用相同的數學模型來解決，深刻體現了轉化的思想魅力！在以后的學習過程中自然要考慮：對于已經熟悉的數學模型，能把它用到新的情境中去嗎？新的情境中的數量關系能轉化為已經學過的數學模型來解決嗎？我們在發現問題中的一些提問的方式、方法，對今后有普適性嗎？

例6 計算

（1）（a+2b）（a-2b） （系數變化）；

（2）（b2+2a2）（2a2-b2） （字母位置及指數變化）；

（3）（-4a-1）（4a-1）（符號變化）；

（4）102×98（題設形式變化）；

（5）（（公式中數的類別發生變化）；

（6）（a+b+c）（a-b-c）（項數變化）；

（7）設（0.5-a）A=0.25-a2，則多項式A為____（逆向思考）；

（8）20092-2008×2010（背景復雜化）；

（9）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1（借\"1\"還\"1\"）.

點評：此例中平方差公式在計算中的應用，體現了原式-變式-綜合這一公式應用的三程序。可引導學生思考，公式中字母可以表示什么？能否從形的角度研究它的應用？如果讓你編擬一組題目，你能對公式如何進行變化？嘗試對已經學過的公式進行變形.你能提出自己的想法嗎？ 學生在學中問，在問中學，\"問學\"意識在頭腦中逐漸扎根了。

總之，師生應充分挖掘例、習題的\"潛能\"，做到合理變化，做到到因材施教、因時施法。不但可以將例、習題的思想性、知識性、趣味性融為一體，提高學生的學習興趣，增強學生學好數學的自信心，而且真正領悟學會提問的魅力， 把學生培養成為求原理、講道理、懂科學、有智慧、究根底、會思考的人，這才是一名教育工作者的神圣職責，也是其最大價值所在.

參考文獻：

（1）編者.數學教育 教師為本.中小學數學（初中版）.2010年第三期.P5.

（2）現代教學原理、策略與設計.盛群力、馬蘭主譯.浙江教育出版社.200607.P542.

（3）初中數學難點教與學.主編：曾美露.山東教育出版社.1999.