函數周期性與對稱性的探究與應用

隨著新課改的推進，新教材知識面的擴充和實際應用能力要求的提高，學生嚴重感到學習數學的困難，尤其是初中升入高中的學生尤其不適應高中數學，特別是在函數章節，因為它蘊涵著數學的數形結合思想，化歸思想，換元思想等.因此我認為新舊教材適當結合，仍有利于學生充分掌握函數的知識體系.在必修1中，函數的奇偶性重現教材，就是一個很好的例證.必修4中，從三角函數引出函數的周期性，是能讓學生充分理解有關知識的優勢，仍是教材中必備的亮點.事實上，適當地結合函數的周期性和函數的奇偶性、對稱性，更能讓學生把握函數中數形結合的魅力.它不僅在高考中起著一定的解題作用，在競賽中也是常用的手法.本文針對函數的周期性和對稱性，略談自己的一些認識。

先讓我們了解下函數圖象的對稱性以及周期性的相關性質和常見結論.

一、 函數圖象關于直線對稱的一些性質：

1. 定義在上的函數，若，則函數的圖象關于直線對稱，反之，若函數的圖象關于直線對稱，則必有.

證明：若，設點為函數圖象上任意一點，

而點關于直線的對稱點為，，

點也在的圖象上，即函數的圖象關于直線對稱。

反之，若函數的圖象關于直線對稱，設點為函數的圖象上任一點，而點關于直線的對稱點也在的圖象上，

，令，則，。

2.定義在上的函數，若，則函數的圖象關于直線對稱，反之，若函數的圖象關于直線對稱，則必有：成立。特別地，當時，函數的圖象關于

對稱。當時，函數的圖象關于對稱，是偶函數。

3.函數圖象關于點對稱的性質：定義在上的函數，若恒成立，則函數的圖象關于點對稱，反之，若函數的圖象關于點對稱，則必有：

證明：若，設點為函數圖象上任意一點，

而點A關于點的對稱點為，

令，則，故

所以點B也在的圖像上。即的圖象關于點對稱

反之也成立。

特殊結論：當時，的圖象關于對稱，

當時，的圖象關于對稱，是奇函數。

二、 函數周期的一些性質

1. 函數周期的定義：一般地，對于函數，如果存在一個非零常數T，使得當取定義域內的每一個值時，都有，那么函數就叫周期函數，非零常數T叫這個函數的周期。

2. 幾個常見結論：

（1） 若函數滿足對定義域內的任意恒成立，則是以為一個周期的周期函數。

（2）若函數滿足對定義域內的任意恒成立，則是以為一個周期的周期函數。

（3）若函數滿足對定義域內的任意恒成立，則是以為一個周期的周期函數。

（4）若函數滿足對定義域內的任意恒成立，則是以為一個周期的周期函數。

（5）若函數滿足對定義域內的任意恒成立，則是以為一個周期的周期函數。

（6），則的周期T=3a；

（7）若函數滿足對定義域內的任意恒成立，則是以為一個周期的周期函數。

3.函數的對稱性與周期性的常見聯系

（1）若定義在的函數的圖象關于直線和直線對稱，則函數必為周期函數，是它的一個周期。

（2）若函數關于點和點對稱，則函數必為周期函數，是它的一個周期。

（3）若函數關于點和直線對稱，則函數必為周期函數，是它的一個周期。

（4）由前文可知，若定義在的函數，滿足且，則函數必為周期函數，是它的一個周期。

三、探究應用

探究一.已知函數是定義在上的函數，若對任意的，有，且，，求的值

簡析：由已知對恒成立，得，6為函數的一個周期。

探究二.已知函數的圖象關于點對稱，則點的坐標是（）

簡析一：設，任意給點，則點關于點的對稱點為，由，，聯立可解得，，故選.

簡析二：

由上文可知：定義在上的函數，若恒成立，則函數的圖象關于點對稱。則對稱點坐標為.

探究三：設函數上滿足，，且在閉區間上只有.試求方程在閉區間上根的個數.

簡析：由且得，函數的圖象關于直線和直線對稱，所以10為函數的一個周期.又，故對任意滿足或的整數，都有.滿足以上兩個不等式的各有403個，

在閉區間上根有806個.

探究四.已知函數對任意都有，若的圖象關于直線對稱，且，則的值。

簡析：若的圖象關于直線對稱，函數的圖象關于直線對稱，函數對任意都有，令得，..10為函數的一個周期..