物理學研究生數學素養的構建探索

[摘要] 數學作為工具學科，其思想、方法和知識已經滲透、貫穿于整個物理學的學習和研究過程中。數學素養對物理學研究生的學習生活及今后的研究工作至關重要。對物理學研究生數學素養的構建主要從數學素養的幾個要素的構建入手：在數學知識素養構建方面注意知識的針對性，引入物理問題進行數學情景教學；在數學應用素養構建方面注意實用性，通過解決實際物理問題進行強化；在數學思想方法素養構建中注意提煉總結，經由體驗—應用—再體驗—再應用的反復循環來升華；在數學思維素養構建方面創設真實物理情景，利用數學建模等活動逐步實現；在數學精神素養構建方面，通過學習了解數學史、數學哲學等方式達到。

[關鍵詞] 物理學；研究生；數學素養；構建

中圖分類號：G623.5

數學作為工具學科，其思想、方法和知識已經滲透、貫穿于整個物理學的學習和研究過程中，為物理概念、定律的表述提供簡潔、精確的數學語言，為物理學中的抽象思維和邏輯推理提供有效的方法，為物理學中的數量分析和計算提供有力工具。物理學研究生如果不具備相應的數學素養，基本上就失去了深刻理解掌握物理知識的能力，失去了在物理學科中發展與創新的支撐。再者，近現代物理學的書寫語言幾乎都是數學，這也是物理學研究生必須具備較高數學素養的原因之一。古今科學家們都堅信，數學是表達大自然規律最好的語言，任何科學理論最終和最完美的表達方式都應該是數學方程式。愛因斯坦（Albert Einstein）就曾說過，政治是暫時的，而數學方程式是不朽的。

一、數學素養的內涵

關于數學素養，目前國內外均無一個嚴格的、統一的定義。最早出現數學素養一詞的Cockcroft報告提出數學素養包括兩個內涵：一是個人在日常生活中具有運用數學技能的能力，能夠滿足個人每天生活中的實際數學需求；二是能正確理解含有數學術語的信息[1]。國際學生評價項目（The Program for International Student Assessment，PISA）的定義則是：數學素養是一種個人能力，學生能確定并理解數學在社會中所起的作用，得出有充分根據的數學判斷和能夠有效地運用數學，是作為一個有創新精神、關心他人和有思想的公民，適應當前及未來生活所必須的數學能力[2]。而美國國家教育與科學委員會（the National Council on Education and the Disciplines，NCED）數學負責人Steen給出數學素養的幾個主要組成部分是：對數學的自信，數學文化欣賞，解釋數據，邏輯思考，做出決定，情境中的數學，數感，實踐技能，必備的知識，以及符號感。

國內的蔡上鶴先生認為，數學素養的結構是多方面的，基本的有四個：知識技能素養，邏輯思維素養，運用數學素養，以及唯物辯證素養[3]。王子興先生認為數學素養涵蓋創新意識、數學思維、數學意識、用數學的意識、理解和欣賞數學的美學價值等五個要素[4]。朱德全先生指出，數學素養的構成要素為數學思維塊、數學方法、數學思想以及數學人文精[5]。

綜合不同觀點中對數學素養本質特性的闡釋，基本上可以得到如下的表述：數學素養是人們通過數學教育以及個體自身的實踐活動所獲得的數學知識和數學能力，形成的數學意識和數學思維，以及內化的數學審美和數學哲學等數學文化的綜合，它包含數學知識素養、數學應用素養、數學思想方法素養、數學思維素養和數學精神素養等構成要素[6]。

二、物理學研究生數學素養現狀分析

物理學研究生是物理學知識和技能的傳承者，是弘揚光大物理學科，推動物理學向前發展的主要力量。較高的數學素養對物理學研究生來說不僅是有意義的，而且是必要的。但目前我們物理學研究生的數學素養現狀還不是那么盡如人意，這主要表現在以下幾個方面：

對數學的重要性認識不足。無論物理學與數學學科之間的關系是多么密切，也無論數學工具對物理學來說是多么至關重要，但對大多數物理學研究生來說，這似乎都與他們無關。事實上，有相當一部分學生在自己的幾年研究生生活中，幾乎都呆在實驗室里埋頭苦干，基本上不接觸理論，更不用說數學知識，成果也會出，學位也能拿。這些情況都在淡化，甚至消退學生對數學重要性的認識。

數學基礎知識不扎實。絕大部分學校在研究生階段已不再設置專門的數學課程，學生的數學底子來源于本?？扑鶎W的高等數學、線性代數、以及部分數理方程和概率論與數理統計方面的知識。在本?？齐A段這些課程幾乎都是大班教學，教學要求普遍偏低，教學內容的針對性也不強，學生由此獲得的數學基礎知識實際上是不夠扎實牢固的。

對數學的應用不充分?，F在的物理研究，特別是一些材料及技術的前沿方向，都是在利用一些大型的、復雜的、精密的儀器設備，完成一些同樣或者更加大型的、復雜的、精密的實驗，這要求研究者全神貫注于實驗方案的設計、實驗過程的操控和實驗結果的表征，而很少有暇顧及對相關物理問題的數學思考。現實情況也正是這樣，學生更多關注實驗的結果，而少有數學模型的建立，以及對物理問題本身更高層次的分析與歸納。

沒有建立起有效的數學思維。因為前面所列的幾點不足之處，最終導致學生在物理的實踐活動中不能建立起有效的數學思維。這反過來又會局限學生對物理問題的理解，封閉學生對物理問題的進一步研究和創新，阻礙學生自身的發展?；蛘邚牧硪粋€角度來講，也會阻礙物理學的發展。

三、物理學研究生數學素養的構建

下面主要從數學素養的幾個構成要素出發，參考一些學者的研究成果，結合自身在物理學研究生數學教學中的一些感悟與體會，以及與諸多師生的交流，淺表地總結一下筆者在物理學研究生數學素養的構建方面所做的一些探索。

（一）數學知識素養的構建

數學知識素養是數學素養的本體性素養，數學素養只有在學習數學知識以及應用數學知識的過程中生成。構建物理學研究生數學知識素養的首要任務是建立知識框架，有主有次地確定知識內容。理科研究生都已被假定掌握了一定的數學基礎知識，且研究生對數學工具使用的選擇性較強，所以該階段對數學知識的學習不應再是“百日筑基”，而應是“煉精化氣”，在原有基礎上，把需要掌握的部分牢固化，需要加強的部分熟練化，以達到運用自如的目的。有幸的是筆者所在的學校對物理學研究生專門設置了數學課程，而在大多數其它高校，這個工作就只能由研究生與導師一起來完成了。接下來是提供真實情景，促進學生主動參與，有效學習。真實情景是數學素養生成的環境，杜威（John Dewey）在《我們如何思維》中指出，思維只有和實際的情景發生聯系，合符邏輯地從這些情景中求得有結果的思想，我們才會知道如何解決困難和做出判斷。在物理學中，特別是研究生階段，可供數學教學使用的真實情景，也就是實際物理問題比比皆是。如果學生確切地知道解決某個物理問題需要哪部分數學知識，便會自然地去尋求對那部分知識的理解掌握，然后用于解決該問題。如此，即可讓學生“學”會，而不是把學生“教”會。比如在學習Hermite多項式時，利用線性諧振子這個物理問題作為實際情景，要解出它的Schrodinger方程，需要學生一步步在數學上做下去，在此過程中即學會了該部分知識。

（二）數學應用素養的構建

數學應用素養是指主體在真實情境中應用數學知識和技能處理問題的能力，是最直觀地反映學生數學素養的重要方面，個體數學素養的其它方面都是通過在現實情境中對數學的應用而體現出來的。構建物理學研究生數學應用素養，第一當然是得讓學生知道，他們所學的數學知識是有用的?？涿兰~斯（Johann Amos Comenius）認為，關注知識的應用是任何教學存在的價值追求之一[7]。他說：“凡是所教的都應該當作能在日常生活中應用并有一定用途的去教。也就是說，學生應當懂得，他所學的東西不是從某種烏托邦取來的，也不是從柏拉圖式的觀念借來的，而是我們身邊的事實之一，他們應當懂得適當地熟識它對生活是大有用處的。這樣一來以來，他的精力和精確性就可以得到長進”。做到這一點并不那么容易，因為大多數時候我們都是流于形式，泛泛而談地告訴學生，數學這個東西是有用的。比如講張量在力學、電磁學、光學、電動力學和相對論中都有很多應用，不如用一個實際晶體的電光效應或聲光效應來讓學生切實體會到張量的應用。第二是讓學生真正去用。筆者給學生上數學課時，給他們留作業中有一部分是特別選取的物理作業，目的就是讓學生在學習數學的過程中，也一直處于運用數學的狀態，不斷地強化數學在物理學中有用的意識，也不斷地加強學生運用數學知識解決物理問題的能力。

（三）數學思想方法素養的構建

數學思想方法素養表現為主體對數學中蘊含的科學方法和數學特有的方法的掌握和在真實情境中的應用。數學中的函數與方程、轉化與化歸、分類討論、數形結合等思想，以及分析法、綜合法、歸納法、建模法、換元法等科學方法在物理學的研究中都可以不同程度地進行借鑒和發揮，誠如馮？諾伊曼（John Von Neumann）所說，“數學處于人類智能的中心領域，數學方法滲透進支配著一切自然科學的理論分支”。培養構建物理學專業研究生數學思想方法方面的素養主要應著眼于學生對數學思想方法的體驗和應用上。教師在教學活動中時時處處注意對數學思想方法的提煉總結有助于加深學生對此的體驗，但學生對數學思想方法更高層次的體驗還是存在于體驗—應用—再體驗—再應用的循環之中。這只能是一個潛移默化的過程。如果我們一方面在數學教學活動中注意到了對思想方法的總結與強調，另一方面在物理學習和實踐活動中突出對數學思想方法的應用，即在討論問題時注意強調定義，強調問題存在的條件；觀察問題時注意抓住其中的函數關系，在局部認識基礎上進一步做出多因素的全局性考慮；認識問題時注意將一些數學概念如對偶、相關、隨機、泛涵、非線性、周期性等概念廣義化，那么，我們無形中就是在幫學生逐步構建起數學思想方法方面的素養了。

（四）數學思維素養的構建

數學的思維素養就是指學生在真實情境中，從數學的角度理解和把握面臨的真實情境并加以整理，尋找其規律的過程，也叫數學化，是數學地組織現實世界的過程。物理學家勞厄（Von Laue）用這樣一句話來總結教育的本質：教育無非是一切已學過的東西都忘掉后所剩下的東西。對于物理學研究生的數學教育來講，如果學生在把學過的某些具體的數學知識、公式定理等都忘了之后，任然能利用他們在數學方面“所剩下的東西”，順利地處理物理學中的相關數學問題，那么我們的數學教育就可以認為是成功的。學生在數學教育中所獲得的那些能夠“剩下”的東西，無疑就是數學的思維。構建物理學研究生數學思維素養的有效途徑之一是培養并不斷強化學生的數學建模能力。把物理問題數學化的過程能同時培養學生的數學知識素養、應用素養、思想方法素養及思維素養，對學生的數學思維素養構建尤其有效。在物理學研究生的數學課中，把數學知識模塊化、專題化，然后對每一模塊的知識選擇合適的物理問題，創設真實情景，讓學生討論建立具體數學模型，這樣的教學方式收到了較好的效果。

（五）數學精神素養的構建

數學精神素養是指學生在真實情境中表現出來從數學的角度求真、質疑、求美和創新的特征。雅斯貝爾斯（Karl Theodor Jaspers）在《什么是教育》中指出：教育過程首先是一個精神成長的過程，然后才成為科學獲知過程的一部分。數學精神素養是數學素養中的最高層次，但同時也是數學教育中最容易被忽視的部分。與物理學一樣，數學精神的主體包含了求真、實證、懷疑、批判、創新等一般性科學精神，以及自由、自覺、超越等一般性人文精神。同時，數學精神也蘊涵其豐富的特質，如日本數學家米三國藏所認為的應用化精神、擴張化和一般化精神、組織化和系統化精神、研究精神、發明精神、建設精神、嚴密化精神等。這些精神都沉淀在數學史、數學哲學及數學本身之中，對物理學研究生來說，指導他們去閱讀，鼓勵他們去了解，建議他們去體驗，可以一定程度地使學生從這些寶貴的精神財富中受益，構建起一些基本的數學精神方面的素養。

總的來講，對物理學研究生數學素養的構建，要把握好數學素養生成的基礎，即主體已有的數學經驗，也就是物理學研究生本身已有的數學底子，并結合物理專業特點。在數學知識素養構建方面注意知識的針對性，引入物理問題進行數學情景教學；在數學應用素養構建方面注意實用性，通過解決實際物理問題進行強化；在數學思想方法素養構建中注意提煉總結，經由體驗—應用—再體驗—再應用的反復循環來升華；在數學思維素養構建方面創設真實物理情景，利用數學建模活動逐步實現；在數學精神素養構建方面，通過學習了解數學史、數學哲學等方式達到。

參考文獻：

[1] The Cockcroft Report http：//www.educationengland.org.uk/documents/cockcroft

[2]黃慧娟，王 晞.PISA數學素養的界定與測評[J].上海教育科研，2003，（l2）：59-61.

[3]蔡上鶴.談談數學素養.人民教育[J]，1994，（10）：38-39.

[4]王子興.論數學素養.數學通報[J]，2002，（1）：6-9.

[5]朱德全.數學素養構成要素探析.中國教育學刊[J]，2002，（5）：49-51.

[6]康世剛.數學素養生成的教學研究[D].重慶：西南大學，2009.

[7]夸美紐斯著，傅任敢譯.大教學論[M].北京：教育科學出版社，1984.