發現等量關系的策略

【摘要】列方程解應用題一直是初中數學教學中的難點，在應用題的教學中許多老師幾乎已經達成不辯的共識：解決問題的關鍵是分析數量關系并找出等量關系。在實際教學中對于“分析數量關系”與“找等量關系”二者間的邏輯關系不是很明確，致使在操作過程中偶有主次不分，先后顛倒現象。結合建構主義教學理論，明確 “分析基本量的關系”在列方程解應用題中的根本作用是“尋找等量關系”的“突破口”。

【關鍵詞】數量關系；等量關系；支架式教學

一、提出問題

（一）列方程解應用題教學現狀分析及思考

眾所周知，解應用題是中小學學生數學學習中的難點，大部分學生對此都存有一種莫名的恐懼感。應用題對于學生為什么會如此具有殺傷力？根據我的觀察、了解和分析，歸納出以下原因：

1.在小學數學的教學中，老師普遍提倡列綜合算式的方法解應用題，過分強調綜合算式的運算，淡化了分步計算的教學。

2.在初中的應用題教學中存有如下情況：

教學中強調先審題，弄清各種數量關系，重點放在如何找出題中的等量關系。

再如在這樣一道例題的教學中：已知有鹽的質量分數為16%的鹽水800克，要得到鹽的質量分數為10%的鹽水，應加水多少克？教學中，一般先根據“加水前后鹽不變”找出該問題的等量關系，即：加水前鹽的質量=加水后鹽的質量。為能理清問題中的各種數量關系，老師總是教同學們用“列表法”。

就這種教學處理有兩個問題有必要討論：其一、這里的等量關系只有這樣一個嗎？事實并非如此，上面分析的主要是“鹽”，這里我們同樣可以分析“水”， 得到關于水的等量關系：加水前的水的質量=加水后的水的質量-所加水的質量。可見首先尋找等量關系很有可能阻礙學生的發散思維；其二、怎樣列表？老師的分析顯得不夠透徹，使學生在學的過程中關于列表只能模仿，很少真正弄清為什么。

（二）改變教學觀念和方法迫在眉睫

在中小學的數學教學中，應用題沒有超出學生應有的學習能力。在小學數學教學中，運用分步運算解應用題實質就是學生分析問題所包含的基本的數量關系。過分強調“綜合算式”削弱了對學生“分析數量關系”的訓練，沒有“分析”的“綜合”如空中閣樓，這樣的學習當然使得學生對應用題感到困難。在初中數學應用題的教學中，老師們都知道在列方程解應用題中要“分析數量關系”、“找等量關系”，然而并不清楚也不注重兩者具有怎樣的邏輯關系，因急于要把問題中的“等量關系”找出，而忽略了“分析數量關系”對“找等量關系”的關鍵性作用，在直接尋找等量關系時總讓學生學習思維受阻。

等量關系在列方程解應用題中的重要性是不言而喻的，現在的問題是要解決“如何尋找等量關系”的策略，當前的教學中，這個問題遠未解決。在此，我認為列方程解應用題的教學中首先必須明確“分析數量關系”與“找等量關系”的邏輯關系與操作順序，用建構主義的觀點來指導我們的應用題教學，以期能做出一點有意義的嘗試。

二、關于應用題建構性教學理論

（一）淺析“分析基本量”與“尋找等量關系”的邏輯關系

在列方程解應用題中，“等量關系”是列方程的依據，同時“等量關系”又是與問題中所有的“基本量”密切相關，是對某一類“基本量”的關系的刻畫。由此，也可以說任何問題中的等量關系都是由這些“基本量”的關系構成的。在教學實踐中我們不難發現，對于一些簡單的應用題，問題中出現的“基本量”的關系就是能解決問題的“等量關系”。但對于較為復雜的應用題，雖然最后用以列方程的“等量關系”只需一個或兩個，但問題中呈現的“基本量”間的關系卻變化多端，讓學生無從下手，實際上我們需要的“等量關系”就隱藏其中。“基本量”的關系是“等量關系”賴以“生存”的基礎，或者說“分析基本量”就是“尋找等量關系”的突破口。

（二）關于建構主義觀下的“支架式教學”模式的特征

1.搭好“腳手架”是列方程解應用題教學的基石

從上面的論述中，我們已經找到了在列方程解應用題中“找等量關系”的策略：挖掘出蘊含“等量關系”的所有的“基本量”的關系。正如建構主義先驅、瑞士心理學家皮亞杰用“同化”和“順應”的觀點解釋新知和原認知圖式間的相互作用。學生原有“了解或熟悉的基本的數量關系”的知識，便是列方程解應用題的基石。

2.“自主建構”是列方程解應用題教學的根本途徑

程亞煥的《數學教學觀與數學差生》一文中指出：防止和轉化數學差生都需要堅持建構主義教學觀；“建構”是學習者的自身思維構造的過程，是一個主動活動的過程。要挖掘“基本數量關系”，需要學生的獨立探索與小組討論相結合，必要時，老師給以適當的啟發。新課程標準指出，必須有效的改進教師的教學行為，倡導學生建構性的學習。首先作為數學教師的教學觀念必須更新、數學教學理念將由以數學學科為本轉到以學生為本、數學教學的心理基礎將由行為主義向認知理論與建構主義轉變；數學教師在數學教學中的作用將由單一的主導作用轉向組織者、指導者和輔導者三位一體的多元導向作用，成為學生學習的一種資源。所以，老師無法“講會”應用題，需要學生自身感悟，自己建構。

（三）關于“支架式教學”模式的五個基本環節

1.搭腳手架——圍繞列方程解應用題的學習主題，按“最近發展區”要求建立觀念框架。主要包括以下兩方面的內容：一是有理數的計算、解方程及方程中未知數與已知數之間的辨證統一的關系和“化歸”的數學思想；二是常見的基本的數量及關系。在列方程解應用題前我們可以通過一些列式計算再現基本的數量關系，為下一步的學習搭好“腳手架”。

2.進入情境——將學生引入問題情境。

3.獨立探究——讓學生獨立探究。探索前，老師要作必要的啟發引導（例如：問題中有哪些基本量、該如何表示等）。這里主要是讓學生挖掘問題中所涉及到的基本量以及根據題中的已知量與未知量把基本的量都表示出來。

4.協作學習——小組討論交流，老師不失時機地參與指導，使問題變得逐漸明朗，思路清晰，最后可以表格的形式簡潔地表示各基本量。

5.教學評價——包括個人的自我評價及小組的個人學習評價。評價內容包括自主學習能力，對小組的貢獻以及對所學的內容和方法是否已經掌握。

三、建構性教學在列方程解應用題中的實施

下面我們將列方程解應用題的傳統教學與建構性教學作一比較。

例如：容器盛滿鹽水溶液，第一次倒出了13后，用水加滿，再倒出12，又用水加滿，此時鹽水的鹽的質量分數為25%，則原溶液的鹽的質量分數是多少？

比較一下同一位老師是在兩個不同的班上的實踐情況：

在一個班上是這樣教學的：首先用一組簡單列式計算復習一下有關“鹽水問題”中的基本的數量關系，然后再用教學參考中的主要思路：尋找等量關系——用列表法表示出相關的量——列方程求解。當要求學生思考時，有個別學生能正確地列出方程但卻未能指明等量關系是什么，班級48人中有38人以上都無從下筆，組織學生討論卻沒有明確的討論對象。最后學生只能看老師的表演，模仿列表求解。

在另一個班上采用的是以“分析數量關系”為根本的“支架式教學”解決問題。先復習好基本的數量關系再讓學生獨立研究問題中有哪些基本量，能否表示出來。學生很清楚：這里有“鹽的質量”、“鹽水的質量”及“鹽的質量分數”三大基本量，但因為本題的數量關系比較復雜，學生對于怎樣把這些“基本的量”表示出來普遍感覺困難。在這種情況下，老師先作了適當的指導，然后讓學生進行小組討論。指導時，雖然“鹽水的質量”和“鹽的質量分數”都不知道，但因為“一杯鹽水”的質量無論怎樣表示都不影響結果，老師指出可以用“1”、“100”或“a”或其它方式來表示它。討論過程中數學素養較好（大約有15名左右）的同學，很快發現有些“基本量”隨著不斷的將鹽水“倒出”、“添滿”有所變化，最后可以把這些變化分為“倒出了2次，加滿了2次，以及原來的狀態共五種狀態”，分別表示出“鹽的質量” 、“鹽水的質量”及“鹽的質量分數”。

在小組討論中，老師了解了學生的情況，在適當的時機給予一定的啟發；同學們用“列表法”表示這些量時也可以讓不同的學生分別表示一種或兩種狀態下的三個基本量。到這里，學生發現最后一次加滿水時的“鹽的質量分數”就等于25%，苦苦尋覓的等量關系原來就在這兒。

最后進行教學評價，從題目本身來講的確比較難，當反思整個解題過程時發現，一半以上的學生都認為分析中的每一個步驟自己都會。這樣學生在自己的學習體驗中構建“列方程解應用題” 的方法：分析并表示出基本量——確定等量關系——列方程求解，同時也增強了學好數學的自信心。

教學分析：

關于師生在課堂上的雙邊關系的比較：在第一個班的教學中，很明顯只能是老師的一言堂；而后一個班的教學中，主要的活動都是學生進行，老師則成了組織者、指導者和輔導者，學生學習的主人。

關于教學效果的比較：前者班級48人中有38人以上無從下手；而后一個班中47人至少有35人以上可以動筆，同時在小組討論中全班基本上可在討論中相互“刺激”與“提醒”完成整個“數量分析過程”。

四、結束語

應用題建構性教學符合“最近發展區”理論，強調以學生為中心 “協作學習”，強調學習過程，解決了“找等量關系”的策略問題。

以支架式模式的應用題教學明確了“分析數量關系”與“尋找等量關系”之間的邏輯關系，進一步確立了列方程解應用題的突破口——“挖掘基本的數量關系”。能充分發揮學生學習的主觀能動性、培養協作意識和能力。當然，列方程解應用題的艱巨性和反復性是客觀的，學生在學習列方程解應用題時要注重模式的內化：用字母表示數，用代數式表示量；熟悉基本的數量關系。最終養成從“分析表示基本量”入手的習慣，以潛移默化地培養學生的數學素養。

參考文獻：

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作者簡介：

羊小華，女，（1975.1——） 四川三臺人，大學本科，講師，研究方向：數學教育。

本文為四川省教育廳課題《學前教育專業學生數學素養的主要內容與培養研究》（編號11SA171）中期研究成果。