聯想是解題的金鑰匙

聯想就是因一事物而想起與之有關事物的思想活動，聯想是以觀察為基礎，對研究對象或問題的特點，聯系已有知識經驗進行想象的思維方法，這種思維方法在數學學習中非常重要.認知心理學認為，影響學生數學學習的認知變量之一就是在原認知結構中起固定作用的觀念和可利用性，也就是說學生頭腦中的已有知識如果與未知的數學知識建立了某種有機的非人為的聯系，那么原認知結構中起固定作用的概念就會被激活，它就會主動積極地去同化新的數學知識，因而產生聯想.因此聯想是找到解題方法的一條重要途徑，我們在平時教學中要注重培養學生聯想解題能力.

一、相似聯想

相似聯想就是由某一事物或現象想到與它相似的其他事物或現象，進而產生某種新設想.

【例1】 若x2+y2=a，m2+n2=b，求mx+ny的最大值.

解：設OA=(x，y)，OB=(m，n)，則OA?OB=mx+ny，mx+ny=OA?OB=a?bcosθ，所以mx+ny最大值為ab，

當xn=ym時等號成立.

二、接近聯想

接近聯想就是根據事物之間在空間或時間上的彼此接近進行聯想，進而產生某種新設想的思維方式.

【例2】 在數列｛an｝中，若an=2n+1，求前n項和Sn.

學生在求和中，利用數列中的基本元素及求和公式就可以了，

若用裂項法也很容易求出其前n項和.

略解:顯然an=(n+1)2-n2.

則Sn=a1+a2+……+an

=(22-12)+(32-22)+…+(n+1)2-n2

=(n+1)2-1=n2+2n

由此聯想到一般的等差數列的前項和能否也可以用這種方法解決呢？

則an=dn+(a1-d)

=d2(2n+1)+a1-32d

=d2［(n+1)2-n2］+a1-32d

∴Sn=d2［(n+1)2-1］+a1-32dn

=na1+n2(n-1)d.

類似在數列{an}中，若an=2n求數列{an}前n項的和Sn聯想也可用裂項法求和.

解：因為an=2n=2n+1-2n，

所以Sn=22-2+23-22+…+2n+1-2n，

則Sn=2n+1-2.

對于等比數列前n項和的推導及記憶應用都是一個難點，根據這個特殊解法可以引領出一般的求等比數列前n項和的方法.

一般的，在等比數列{an}中若an=a1qn-1(q≠1)

則an=a1q-1(qn-qn-1)，

∴Sn=a1+a2+…+an=a1q-1(q1-q0+q2-q1+…+qn-qn-1)

=a1q-1(qn-1)=a1(1-qn)1-q.

三、數形聯想

數形聯想就是指對于事物的數和形兩個方面進行聯想，從而找到正確的解題方法.

【例3】 設

K=x+y2x+y(x＞0，y＞0)，求K的最大值.

本題如果分子分母同除以y，轉化為以xy整體為變量的函數，再去求此函數的最大值.對于K的形式聯想到點到直線的距離公式，利用數形結合的方法來解題就比較簡捷.

解：設直線2x0x+y0y=0(x0＞0，y0＞0)，

則點(22，1)到該直線的距離為d=

x0+y02x0+y0，

而點P(22，1)到直線

2x0x+y0y=0

的距離最大為OP=62，所以Kmax=62

四、因果聯想

因果聯想就是指對邏輯上有因果關系的事物產生的聯想.

【例4】 在等差數列{an}中，前n項的和Sn，若S2011=-2011，a1007=3，求S2012的值.

本題如果代公式化基本元素計算量較大，聯想到Snn是等差數列，由此來解題就較方便了.

解：∵S2013=2013(a1+a2013)2=2013a1007，a1007=3，

∴S20132013=3，又∵S20112011=-1，且數列Snn是等差數列，

∴2S20122012=S20112011+S20132013，

則S20122012=1，∴S2012=2012.

（責任編輯 黃桂堅）