計算機專業離散數學教學改革與實踐

摘要： 針對離散數學課程教學現狀，結合教學體會，提出了輕理論重應用、從數學思想的高度整合課程內容、充分利用課程教學平臺、適當介紹數學史等教學改革措施。

關鍵詞： 離散數學； 教學改革； 課程教學平臺； 數學史

中圖分類號：O158 文獻標志碼：A 文章編號：1006-8228(2012)10-47-03

引言

離散數學是以研究離散量的結構和相互關系的學科，它在計算機理論研究及軟、硬件開發的各個領域都有著廣泛的應用[1]。作為計算機專業的一門核心基礎課，它不僅在后續課程，如數據結構、數據庫原理、編譯原理等課程中有廣泛的應用，而且對培養學生的嚴格邏輯推理、抽象思維能力有十分重要的作用[2]。

離散數學概念多而抽象，教師在教學中往往會非常注重理論知識的講解，而忽略了應用；學生在學習中往往看不到離散數學的知識在計算機學科中的具體應用，學習積極性也不高。另外，在人才培養方案的制定過程中，各個學校普遍壓縮了專業課程的學時數。以筆者所在學校為例，以前離散數學有64課時，從2008級開始已壓縮為48課時。課時非常緊張，教師需要在有限的課時內高質量地完成教學內容，而如何提高學生的學習效率成為教學改革的關鍵。

近年來，針對離散數學課程教學現狀，許多教師都在進行各種各樣的教學改革[3，4]。本文結合筆者的教學體會，提出了輕理論重應用，從數學思想的高度整合課程內容，充分利用課程教學平臺，適當介紹數學史等教學改革措施。

1 注重概念的理解與掌握，重視應用

1.1 案例教學，注重概念的理解

現行的大多數離散數學教材，主要是從純數學理論角度講授基本內容，這不利于學生的理解和掌握。離散數學中有很多定義、定理和規則，而課本的描述往往比較難懂。很多學生習慣于死記硬背數學概念，很容易產生枯燥和畏難情緒。因此，在教學過程中，教師要注重引導學生對問題的完整理解，而不是只告訴學生結論。教師可以選取典型案例來說明抽象的理論知識，或者改用比較通俗的語言來描述抽象的概念，使學生在輕松愉快的情境中理解離散數學的理論知識，下面用幾個例子來說明。

例如，對于關系的對稱與反對稱的性質，課文的定義如下：

在實際講解時，教師如果能從學生身邊的例子出發，再抽象出基本概念，學生就會對這些概念有更深刻的理解。比如，教師舉例說班級里的同學關系是對稱的，然后提問學生家庭里的父子關系是對稱關系嗎·學生一聽這例子，就哈哈大笑，他們馬上明白父子關系是反對稱的關系。隨后學生就可以舉出許多例子，直線的平行關系是對稱的，數的整除關系是反對稱的。于是在教師引導下，學生參與對這些例子的關系圖進行分析，一起得出以下利用關系圖來判斷關系性質的結果：

結論1 若G是關系R的關系圖，假如G的不同頂點之間有邊，若全是雙向邊，則關系R是對稱的；若全是單向邊，則關系R是反對稱的；假如G的不同頂點之間沒有邊，則關系R既是對稱也是反對稱的。

在講解三個特殊關系時，教師可以以班級學生為例，學生就不難理解特殊關系的相關定義了。

離散數學課堂教學要突破傳統數學教學思想方法，弱化教學內容體系的系統性與嚴密性。以實際問題為導入，以學生應用為主題，突出應用能力的培養。在教學過程中，應穿插介紹一些知識點在計算機科學中的應用，將之與離散數學理論結合介紹給學生，使學生重視這一課程的學習，產生學習興趣，主動地進行學習。

該課程命題邏輯公式的等值演算和主合（析）取范式是教學重點，前者在開關電路中可以化簡電路，后者在邏輯設計方面有廣泛的應用。

例2 學校要安排課表，教語言課的教師希望將課程安排在第一或第三節，教數學課的教師希望將課程安排在第二或第三節，教原理課的教師希望將課程安排在第一或第二節。試問該如何安排課表，使得三位教師都滿意·

解：設l1，l2，l3，分別表示語言課排在第一、第二、第三節，設m1，m2，m3分別表示數學課排在第一、第二、第三節，設p1，p2，p3分別表示原理課排在第一、第二、第三節。于是三位教師都滿意的條件是：

于是，或為真，從而可得兩種不同的課程表排法。

另外，在講授平面圖時，教師可以介紹平面圖在染色問題、集成電路等方面的應用。在講授代數系統時，教師可以布置關于密碼方面的案例，要求學生進行破譯。教師可以布置課程大作業，要求學生圍繞離散數學在計算機科學中的應用撰寫課程論文，這不但會培養學生基本的論文寫作規范和綜合素質，更重要的是，能引起學生濃厚的學習興趣和求知欲，使他們自覺地去學習、解決問題和創新。

2 “化零為整”，從數學思想的高度整合課程內容

離散數學主要包括數理邏輯、集合與關系、函數與映射、代數結構和圖論等教學內容。這些內容從表面上看，內容多且散，不同教材對這些章節的次序安排也各有不同。但通過歸納可以發現，離散數學是以集合、映射、運算和關系為主線，各章節內容聯系緊密，具有較強的邏輯性。所以教師要引導學生理清各章節之間的聯系，提高學習效率。

2.1 集合公式是數理邏輯公式在集合論中的應用

顯然邏輯公式的合取運算在集合論中表現為求交集的運算。同理邏輯公式的析取和求非的運算在集合論中分別表現為求并集和求補集的運算。至于特殊公式0和1，在集合論里分別表現為空集和全集。因此集合恒等式是命題邏輯等值式在集合論中的應用。

由于學生對集合公式比較熟悉，而且公式直觀易懂，因此學生可以通過集合公式來記憶數理邏輯公式。

2.2 圖的同構就是兩代數系統同構的特例

盡管實際教學中不要求學生利用代數系統的同構來判別圖的同構，但是教師應該從理論的高度向學生介紹圖同構就是代數系統同構在圖論中的應用。

類似的例子還有許多，這里不再一一贅述。

3 充分利用網絡教學平臺，增加師生互動

3.1 教學手段現代化

在離散數學教學中，適當利用多媒體教學，能使課堂容量增大，使講解更直觀、更清晰，特別是在圖論中應用多媒體教學可以形象地生成不同形狀的圖形，可提高課堂教學效率。但是，教師不能用計算機輔助教學完全代替傳統的授課方式，教師可以根據實際需要，在教學過程中靈活地、適當地應用板書，以起到其特有的點睛效果。例如對一些邏輯性較強的推理證明，應該使用傳統的授課方式進行教學。因此，傳統的教學方式與現代多媒體教學方式要有機地結合。

3.2 開發教學網站

高校擴招后， 大部分學生在新校區學習，而教師的辦公和居住地往往在老城區，傳統單一的教學模式使學習受到了時間、空間的限制。如學生課外自學遇到問題無法隨時找到教師；師生之間互動差，缺乏自由溝通的良好環境等等。這些因素影響了學生的學習熱情和學習效率，因此需要拓展教學模式，建設教學網站。

2009年，筆者開始建設基于Blackboard的離散數學教學平臺，課程平臺菜單如圖3所示。利用教學網站，學生的學習方式更加靈活，學生可以根據需要下載教學課件、習題解答等課程資源，也可以參加在線測試和了解課程信息，教師可以組織課程討論和進行在線答疑。離散數學網絡課件既能輔助課堂教學，又便于學生進行自主深化學習。

外國語學院的學生外語水平比較高，根據這一特點，網站也設置了雙語教學模塊，列出了離散數學常用術語的翻譯、國際知名大學的英文教材和相關學習網站等。通過三年的教學平臺實踐教學，取得了一定的效果。

另外，課程考核體系也需要改革，不能以單一的卷面考試作為標準，而是要結合平時作業、期中考試、課程小論文以及在線測試成績等多方面進行綜合考核，注重學生的綜合素質。

4 適當介紹數學史，增加學生學習興趣

通過數學史的介紹讓學生了解知識的產生根源，這對增加學生學習興趣、引導學生主動學習大有裨益。

例如，教師可以用“七橋問題”引出圖論的起源，同時介紹數學家歐拉在圖論上的成果，學生就容易記住相關的歐拉圖的定義、判定條件。圖論中有幾種重要的特殊圖，可由“環游世界問題”引出哈密爾頓圖的起源；介紹與平面圖相關的“四色定理”的由來；可介紹一些圖論中懸而未決的問題，引發學生去思考。

在命題邏輯教學中，可以補充介紹“理發師悖論”等相關小故事，告訴學生這是當時引起第三次數學危機的“羅素悖論”，還可以介紹計算機最高獎——圖靈獎。在代數系統中可以補充介紹Hill密碼、糾錯碼等。通過介紹離散數學中的典故、典型實例和歷史人物等有趣的內容激發學生的學習興趣，讓學生享受學習的樂趣，提高課堂教學質量。

5 結束語

離散數學課程體系與教學內容改革的基本原則是，注重課程體系與教學內容的整體優化；在傳統內容中滲透現代數學的思想與方法；加強應用，重視離散數學教學與計算機科學技術的整合。

課程的教學改革是一個復雜的系統工程，還需要長期的改革實踐和探索。比如離散數學作為計算機專業基礎課，它的實踐環節容易被忽略，事實上可以結合數學建模，開設數學實驗教學，以培養學生的動手能力。離散數學增加實驗內容的教學，有利于激發學生學習該課程的積極性，有利于增強學生解決實際問題的能力，有利于培養學生的創新意識和創新能力[5]。如果能增加一些課時，我認為應在教學中逐步增加實踐環節，進一步探索理論教學與實驗教學相結合的模式。

參考文獻：

[1] 耿素云，屈婉玲，張立昂.離散數學[M].清華大學出版社，2008.

[2] 左孝凌.離散數學[M].上海科學技術文獻出版社，1982.

[3] 張三元.《離散數學》雙語課程的教學實踐與探索[A].高校計算機教學與研究[C].科學出版社，2007.

[4] 孫嵐，王一蕾，吳英杰.離散數學教學方法探討[J].計算機教育，2012.1:61-63

[5] 徐鳳生.《離散數學》實驗教學探討[J].計算機時代，2008.2:63-65