直線與圓位置關系的應用

對于直線與圓的位置關系，初中教科書上已經有了初步介紹，而高中教材中這部分內容，是在原有的基礎知識上再加深拓展。直線與圓的位置關系緊接直線以及圓的方程表示，是研究圓有關性質的基礎，也為圓與圓的位置關系作了鋪墊。

在對口單招數學考試中，直線與圓位置關系的考題多出現在選擇、填空題中，我結合高三綜合試題，分析一下直線與圓的位置關系的應用。

一、直線與圓位置關系的判斷

例：（2012南通調研）直線l:mx-y+1-m=0與圓C:x2+(y-1)2=5的位置關系是（ ）

A.相交 B.相切

C.相離 D.不確定，與m的取值有關

分析：判斷直線與圓的位置關系，主要是比較圓心到直線的距離d和圓半徑r之間的大小，當dr時，直線和圓相離。本題的難點在于對距離d的化簡。

解：由題意，圓心坐標C（0，1），半徑 ，

圓心C到直線的距離 ，

容易看出 ，因此 ，又∵ 直線和圓相交，選A。

小結：直線與圓的位置關系的判斷依據比較簡單，學生容易掌握，本題的難點在于將距離表達式中的|m|化為 ，

這樣就能很容易比較出 與 的大小，問題就迎刃而解了。

二、圓上的點到直線距離

例：求圓C：（x-1）2+(y-1)2=4上的點到直線l:x-y-5=0的最遠和最近距離。

分析：首先判斷直線與圓的位置關系，作出草圖，找出距離該直線最遠和最近的點，根據點的特征，計算出最遠和最近距離。

解：∵圓心C（1，1），半徑r=2，∴圓心C到直線的距離 ，∴直線與圓相離，如圖，過C作CP⊥直線l，交圓C于點A，反向延長AC交圓C于點B，則圓C上的點到直線l的最遠距離為|BP|=|CP|+|CB|=d+r=

，最近距離為|AP|=|CP|-|CA|=d-r= 。

小結：學生在遇到沒見過的題目時，往往不知道從何下手，點到直線的距離即點到直線的垂線段的長，何時達到最大或最小值，要引導學生觀察、分析、猜測、驗證、下結論。

三、截距相等問題

例：與圓C:x2+(y+3)2=1相切，且在x軸和y軸上截距相等的直線共有______條。

分析：截距相等問題，首先考慮截距都為0的情況，截距不為0時要考慮符號必須相同，截距不同于距離，距離是非負的，而截距可以是負的。本題并未要求求出直線方程，因此只需要在圖中作出符合條件的直線即可。

解：如左圖，①當截距a=b=0時，即直線經過原點，且與圓C相切，為直線l1和l2；②當ab＞0（a≠0且b≠0）時，當a與b同正時，無滿足條件的直線；當a與b同負時，為直線l3和l4，因此，符合條件的直線共有4條。

小結：縱截距和橫截距均為0的情況是容易被忽視的，在解題中要引導學生特殊情況優先考慮；a=b≠0時要注意同號，截距可以為一切實數，只有符號和長度都相等才滿足截距相等。

四、直線與圓相交

例：若直線2ax-by+2=0(a＞0，b＞0)被圓x2+y2+2x-4y+1=0截得的線段長為4，則+的最小值為（ ）

A.2 B.4 C. D.

分析：直線和圓相交也是常見題型，應放到直角三角形中來考慮弦長和半徑之間的關系，而+的最小值利用不等式來解。

解：圓化為標準方式為(x+1)2+(y-2)2=4，則圓心C(-1，2)，半徑r=2。過圓心C做CD⊥AB，則D為AB中點，∵|AB|=4，所以|AD|=2，又∵|AC|=r=2，則在直角三角形ACD中，斜邊|AC|=直角邊|AD|=2，不合題意，那產生矛盾的原因是什么呢？就是AC與AD重合，即直線AB過圓心C，將C（-1，2）代入直線方程，則2a?(-1)-b?2+2=0，∴a+b=1，而 ，選B。

小結：本題的題干比較常見，而要求的+結合了不等式里的內容。通過常規的解題方法得出矛盾，學生很難再往下解，必須找出矛盾的原因，思維要開闊，從而解決矛盾。

解幾何題時，首先要求學生根據題意作出草圖，而草圖的準確性直接影響到解題的準確。在解直線與圓的位置關系的習題中，首先要掌握直線與圓的三種位置關系，這是解題的基礎。但考試中出現的題型往往不是浮于表面，這就要求學生在掌握概念的同時，靈活運用，通過觀察圖形找出切入點，數形結合，從而更快更準確地找出答案。

（作者單位：江蘇省啟東市第二中等專業學校）