生活中的數學——超市費用估算例談

超市費用估算是小學數學估算教學中的一類經典問題，但在實際教學中學生提出的一個問題“為什么課堂上學的估算方法，在實際超市購物時沒法用？”引發了筆者的深思。經過深入研究，發現現有的估算方法過于簡化，難以實際應用，筆者在模型思想的指導下，通過師生的共同努力，創建了超市費用估算模型，在實際超市購物中得以應用，效果良好。具體過程如下：

一、重建購物場景，提出問題

考慮到幾乎所有小學高年級學生都有超市購物的經歷，應充分利用學生已有的購物經驗，通過觀看購物圖片和文字，幫助學生回憶還原購物經歷，把握與費用估算相關的超市購物特點：一是一般購物時間較長，購物數量較多，需要記憶的商品價格較多；二是購物費用的估算主要靠心算，可以發生在購物過程中，也可以在排隊結賬時。然后直接提出問題：“如何有效估算出購物費用？”

二、簡化和求解估算模型

經過師生的初步討論，提出需要簡化的問題，將其轉化到平時熟悉的估算問題上來，可以先根據發票上的數據來估算費用，將問題轉化為根據發票金額列的數據估算總費用。

為了解決上述問題，要求每個學生收集一張日常超市購物發票，記下發票上總金額信息后將其涂掉；上課時學生分成小組，組內學生交換發票后，根據發票商品金額列的數據估算總金額，期間學生互相交流估算策略并進行口算，然后與實際總金額比較。老師提問引導：“至少需要多少錢的估算方法是什么？”“最多需要多少錢的估算方法是什么？”“比前面兩種方法更準確一點的估算方法是什么？”經過討論和交流后，歸結出以下常用估算策略：（1）忽略尾數法。將小數部分忽略，累加得到至少需要多少錢；（2）進1法。去掉小數位后，將個位加1，累加得到最多需要多少錢；（3）四舍五入法。將小數點后的尾數四舍五入，可以得到較為精確的估計。

為了弄清上述策略之間的數量關系，老師問：“如果知道了至少需要多少錢，能不能很快算出最多需要多少錢？”并引導學生進行以下推理：設發票上有3個商品金額：17.83，2.85，31.20，至少需要錢數（設為L）為17+2+31，最多需要錢數（設為H）為18+3+32，那么H=17+1+2+1+31+1=17+2+31+3=L+3，通過不完全歸納可以得到一般式：H=L+n（n是有金額的商品數，下同），類似的四舍五入法估算的錢數（設為M）為：18+3+31，那么M=17+2+31+2=L+i（i是四舍五入的商品數），也就是說只要算出L，H和M就可以方便地計算出來。

三、修正估算模型

但實際購物時，估算主要發生在獲取發票前，需要記憶的商品價格較多，師生進一步討論后，認為在口算估算的情況下，需要盡量減少記憶量，簡化計算，對于沒有金額標簽的商品要邊購物邊計算金額并累加，這樣只需記住一個中間結果，計算時盡量采用整數運算。

顯然整數比小數容易記憶和計算，采用忽略尾數法簡單易行，但對準確度有一定影響，四舍五入法雖然可以得到較為準確的結果，但需要知道小數點后的一位，不便記憶，能否發現一種只靠整數部分就能得到類似四舍五入法準確度的計算方法呢？為了進一步引導學生，老師在黑板上畫了一條數軸，數軸上有三點：分別是L（至少需要的錢）、H（最多需要的錢）及兩者之間的M（四舍五入法算得的錢），然后問學生：“L和H之間有哪些特殊的點和M比較接近？”學生憑著直覺，自然想到了中間點，中點的值推算如下：Z=■=■=L+■，Z值完全由商品金額的整數部分以及商品數決定。那中點假設能否保證準確度呢？這需要根據數據計算驗證，要求學生用計算器計算出每張發票Z值、M值與準確值的差值，分析這些差值，發現二者很接近，說明Z值的準確度與四舍五入法得到的M值的準確度相當，這樣就得到了一個易記、易算、準確度較好的總金額估算公式。

估算公式（L+■）是根據商品金額計算的，而金額（單價×數量）本身有時并不容易計算，例如17.8×12，可以用新得到的公式計算：17×12+■=17×（10+2）+6=210；而簡單一點的如0.8×12，可以直接算出后去尾取整。

四、驗證估算模型

雖然已經根據發票數據對估算公式進行了初步驗證，但模型的有效性仍需在實踐中檢驗。將模型應用到實際購物中，需要學生掌握應用的要領，在平衡考慮了可記憶性、可計算性、準確性的基礎上，總結形成了以下超市購物費用估算口訣（設商品包裝上貼有金額標簽的為A類商品，沒有貼的為B類商品）：“B類商品購時算，取整累加值牢記，A類商品取整算，A、B累加需調整，加上半數更精確”。

課后要求學生到超市實際購物，使用上述方法估算，將結果記在發票上帶回課堂，課堂上分小組使用計算器計算出估算結果與準確值的差值，算得最大差值小于5，最大相對誤差是7%，并且總金額越大，相對誤差越小。同學們普遍反映估算方法簡單易行，估算結果比較準確，符合實際。

五、總結反思

師生為了解決現實生活中常見的超市費用估算問題，共同經歷了提出問題、建模求解、修正、驗證估算模型的過程，在這一過程中，學生運用數學知識解決實際問題的能力得到了鍛煉和提高，同時也體現出了數學在生活中的作用。

（作者單位 南京市百家湖小學）