地質空間三維建模插值技術研究

【摘 要】露天礦復雜地質體中的各種地質信息，包括地表地形、地下水位、地層斷面、節理、風化帶分布等，都可以通過野外勘探實測或檢測儀器獲得，但一般都是散亂數據，而且數量有限。利用這些稀疏、有限、不規則的數據建立三維地質模型難以描述礦山地質體的實際情況，以此模型進行的空間分析難以達到理想的效果。為了利用這些原始數據建立比較理想的地質模型，必須分析原始數據間的聯系和規律性，結合地質學原理和相關的地質條件選擇合適的插值方法來處理原始數據。

【關鍵詞】地質空間；三維建模；插值技術

0.引言

本文分析多種面向地質建模的空間插值方法后，根據數學地質理論、礦床的賦存條件及原始采樣數據的分布特點，分析研究參數優化選擇的有效方法，研究關鍵參數選取的方法，為進一步精確構建地質模型提供了數據保障。

1.空間插值的概念與分類

空間數據的插值可描述為：給定一組已知空間離散點數據，從這些數據中找到一個函數關系式，使該關系式最好地逼近這些已知的空間數據，并根據該函數關系式推求出區域范圍內其他任意點的值。空間插值方法很多，分類標準不一。如按照擬插入點的區間范圍可以分為內插和外推；按原始數據空間分布完整性可以分為整體插值和局部插值。整體插值利用所有樣本點進行全區特征擬合，而局部插值則僅利用相近的數據點對未知點進行估值，根據內插點的分布范圍又可分為分塊插值和逐點插值。

2.整體插值法

整體插值的擬合模型是由研究區域所有采樣點的觀測值建立的。整體插值主要通過多項式函數來實現的，其特點是不能反映插值區域的局部特性，因此該方法不直接用于空間插值，而是用來檢測不同于總趨勢的最大偏離部分。從數據中去除一些不符合總體趨勢的宏觀地物特征后，可用剩余殘差來進行局部插值。

2.1趨勢面法

多元回歸插值法是一種常用的整體插值方法，一般用于確定數據的大規模的趨勢，因此也被稱為“趨勢面擬合”。其原理是用函數代表的面來擬合現象特征的趨勢變化。它的理論假設是地理坐標（X，Y）是獨立變量，屬性值Z也是獨立變量且是正態分布的，同樣回歸誤差也是與位置無關的獨立變量。

用一個簡單的示例來說明，地理或環境調查中特征值Z沿一個斷面在X1，X2，…，Xn處采樣，若Z值隨X值增加而線性增大，則該特征值的長期變化可以用回歸方程：Z(x)=b0+b1x+ε進行計算（其中b0，b1為回歸系數，ε為獨立于 的正態分布殘差。）。

然而許多情況下，不是以線性函數，而是以更為復雜的方式變化，則需用二次多項式Z(x)=b0+b1x+b2x2+ε或更高次的多項式進行擬合。對于二維的情況，X，Y坐標的多元回歸分析得到的曲面多項式，形式如下：

一次趨勢面的數學模型：Z=b0+b1x+b2y+ε

二次趨勢面的數學模型：Z=b0+b1x+b2y+b3x2+b4xy+b5y2

三次趨勢面的數學模型：Z=b0+b1x+b2y+b3x2+b4xy+b5y2+b6x3+b7x2y+b8xy2+b9y3

計算是一個標準的多元回歸問題，大多數情況下可采用低次多項式進行擬合，一般次數為2或3就可以。次數高的多項式可以很好地逼近觀測點，但計算復雜，而且其內插效果使整體分離，降低整體趨勢；當多項式次數過高時，非觀測點部分的估值會產生大幅震蕩。

趨勢面法反映總體擬合情況，有著總體的趨勢，但是并不能很好地反映出局部特征，尤其是在邊界上的擬合情況偏差較大。因此，趨勢面法主要用于在使用某種局部插值方法之前，模擬大范圍內的宏觀變化趨勢，而不直接用其進行空間插值。

2.2加權最小二乘擬合法

加權最小二乘擬合法是在趨勢面分析基礎上引入“距離權”的概念，從而使估值更為合理。具體方法如下。

已知樣本點(X1，Y1，Z1)，(X2，Y2，Z2)，…，(Xn，Yn，Zn)，估值誤差平方和為：

Q=(f(xi，yi)-Zi)

對每個樣本點考慮一個距離權系數，通常為w(di)=，其中di=，ε為一個很小的正數。使總估值偏差和Q最小，則

Qmin=(f(xi，yi)-Zi)w(di) 令

=0

=0 i=1，2，3，...，n

通過最小二乘方程建立法方程，求得方程系數矩陣，再將插入點（X，Y）帶入趨勢面數學模型，可求得待估點高程值Z。

加權最小二乘擬合法不僅可以反映總體趨勢，還可以反映局部的變化特征，但反映出的局部變化不是十分明顯。通常這種方法在礦體連續的情況下（即沒有斷層的情況），也可以用來加密邊界點。如果出現斷層情況，在邊界處擬合會出現下凹問題。

3.分塊插值法

由于實際的估值區域復雜多變，不可能用一個多項式進行擬合，因此一般不用整體函數法進行內插，而是采用局部分塊內插拼接的方法。所謂分塊內插是把參考空間分成若干分塊，對各分塊使用不同的函數。分塊的大小根據地貌復雜程度和參考點的分布密度決定。一般相鄰分塊間要求有適當寬度的重疊，以保證相鄰分塊間能平滑、連續的拼接。分塊內插的特點是可以提供內插區域的局部特性，且不受其他區域的內插影響。典型的局部內插又分為線性內插、多項式內插、雙線性內插、樣條函數內插和多面函數內插等。

4.逐點插值法

逐點插值法是以待插點為中心，定義一個局部函數去擬合周圍的數據點，數據點的范圍隨待插點位置的變化而移動，因此又稱移動曲面法。

逐點內插方法只使用鄰近的數據點來估計未知點的值，包括幾個步驟：

（1）定義一個鄰域或搜索范圍。

（2）搜索落在此鄰域范圍內的數據點。

（3）選擇能夠表達有限點的空間變化的數學函數。

（4）為落在規則格網單元上的數據點賦值。

（5）重復這個步驟直到格網上的所有點賦值完畢。

逐點插值法的關鍵參數選取包括：所選擇的插值函數，鄰域的大小、形狀和方向，數據點的個數，數據點的分布方式（規則或不規則）。

5.結論

本文重點探討了適合于地質空間建模的三大類插值算法：整體內插法、分塊內插法、逐點插入法，分析其主要插值方法的優點、缺點、適用條件。只有在熟悉插值方法的適用條件、所要模擬地質體的特征及掌握地質規律的基礎上，對實測數據樣本點進行充分分析，才能得到建模區特定條件下特定對象的理想插值效果。分析內插模型誤差精度來源，對插值后的模型進行精度評定。反復試驗比較，選取插值后誤差最小的內插方法，才能得到較為理想的內插效果。 [科]