探討高中數學問題解題

培養和提高中學生的數學應用意識，使學生掌握提出、分析和解決帶有實際意義的或在相關學科，生產、生活中的數學問題，準確而靈活地運用數學語言研究和表述問題，是中學數學教育教學的迫切要求，在中學數學教學過程的始終都應注重學生應用意識的培養，加大應用問題的教學力度。

一、訓練問題解題法

為培養學生的應用意識，提高學生分析問題解決問題的能力，教學中首先應結合具體問題，教給學生解答應用題的基本方法、步驟和建模過程、建模思想。

教學應用題的常規思路是：將實際問題抽象、概括、轉化——數學問題、解決數學問題、 回答實際問題。具體可按以下程序進行：

（1）審題：由于數學應用的廣泛性及實際問題的多樣性，往往需要在陌生的情景中去理解、分析給出的問題，舍棄與數學無關的因素，抽象轉化成數學問題，分清條件和結論，理順數量關系。為此，引導學生從粗讀到細研，冷靜、慎密的閱讀題目，明確問題中所含的量及相關量的數學關系。對生疏情景、名詞、概念作必要的解釋和提示，以幫助學生將實際問題數學化。

（2）建模：明白題意后，再進一步引導學生分析題目中各量的特點，哪些是已知的，哪些是未知的。是否可用字母或字母的代數式表示，它們之間存在著怎樣的聯系？將文字語言轉化成數學語言或圖形語言，找到與此相聯系的數學知識，建成數學模型。

（3）求解：解出數學問題，得出數學結論。

（4）還原：將得到的結論，根據實際意義適當增刪，還原為實際問題。

例：某城市現有人口總數100萬人，如果年自然增長率為1.2％，寫出該城市人口總數y(人)與年份x(年)的函數關系式。

這是一道人口增長率問題，教學時為幫助學生審題，我在指導學生閱讀題時，提出了以下要求：

——粗讀，題目中涉及到哪些關鍵語句，哪些有用信息？解釋“年自然增長率”的詞義，指出：城市現有人口、年份、增長率，城市變化后的人口數等關鍵量。

——細想，問題中各量哪些是已知的，哪些是未知的，存在怎樣的關系？

——建模，啟發學生分析這道題與學過的、見過的哪些問題有聯系，它們是如何解決的？對此有何幫助？

學生討論后，從特殊的1年、2年…抽象歸納，尋找規律，探討x年的城市總人口問題： y=100·(1+1.2%)x。

二、引導學生將應用問題進行歸類

為了增強學生的建模能力，在應用問題的教學中，及時結合所學章節，引導學生將應用問題進行歸類使學生掌握熟悉的實際原型，發揮“定勢思維”的積極作用，可順利解決數學建模的困難，如將高中的應用題歸為：①增長率（或減少率）問題②行程問題③合力的問題④排列組合問題⑤最值問題⑥概率問題等。這樣，學生遇到應用問題時，針對問題情景，就可以，通過類比尋找記憶中與題目相類似的實際事件，利用聯想，建立數學模型。

三、針對不同內容采取不同教法

高中新教材的數學應用問題遍及教材的各個方面，教學時只要針對不同內容，有的放矢，各有側重，就會取得較好的效果。

1.章頭序言，指導閱讀，留下懸念。對圖文并茂的章頭序言，由教師簡單提出或由學生閱讀，使學生稍作碰壁，留下解題懸念，增強解決問題的欲望。

2.重視例題的示范作用。例題是連接理論知識，與問題之間的橋梁，示范性強。因此在講解例題時應在分析題目各個量的特點關系，建模，解決數學問題、還原為實際問題的諸多環節都應很好的起示范作用，教師應重視例題的分析與講解，積極進行啟發式教學，培養學生分析問題、解決問題、尋求基本實際模型的能力，重視數學理論知識與實際應用的聯系。

3.指導練習，鞏固方法。充分運用課本的練習題、習題、復習題，讓學生自己動手、動腦，應用所學的知識解決實際問題。練習題位于具體的理論知識后面，建模方向性強，教師只需稍作指導；而習題則更多利用教師批改作業的機會，主要糾正數學語言轉化過程，及解題的規范過程；復習題由于綜合性強，學生獨自解決有困難，教師要給予必要的指導、提示。

4.課外閱讀，補充提高。對于不作教學要求的閱讀材料，根據教學進度提出閱讀要求，布置學生進行課外閱讀，培養學生的閱讀能力，擴大知識面，激發學生的學習興趣。

5.實習作業，重視實際操作與團結協作。完成實習作業，可以打破單一沉寂的課堂教學氛圍，激發學生的探索精神，培養學生的實踐能力，進一步培養學生應用數學的意識和創新能力。但實際問題的因素是錯綜復雜的，這就要求學生在調查、分析、研究的基礎上，抓住本質，通過篩選，去粗取精，結合數學知識，進行建模解決實際問題。如第五章《三角函數》中的實習作業，對不能直接測量的兩點的距離，教師選定符合要求的地點，組織學生實際測量，通過計算器進行計算，學生興致很高，特別是對“已知兩邊和一對角”解三角形的三種情況，通過動手操作，實地測量，加深影響，激發了學生的探索精神，增強了學生的感性認識。

6.研究性課題，重視自主探究。“研究性課題”是新教材中的一個專題性欄目，具有探究性和應用性的特點，它既是所學內容的實際綜合應用，又對學生探究和解決問題具有較好的訓練價值。

“研究性課題”，一個有關分期付款的問題，因為很多人一次性地支付售價較高的商品款額有一定困難，另一方面不少商家也不斷改進營銷策略，方便顧客購物和付款，它與每個家庭的日常生活密切相關，在今天的商業活動中應用日益廣泛。對它的探究將會引起學生極大的興趣，教學這一課題時，應突出以學生探究為主，教師點拔、介紹為輔，教師不斷提出問題，介紹情況，啟發誘導。鼓勵學生研究和探索。

第一步，讓學生閱讀教材中的方案表，明確每個付款方案的次數、方式。

第二步，引導學生探究第二種方案，即分6次付清，購買后第2個月第一次付款，再過2個月第2次付款……購買后12個月第6次付款，月利率為0.89％，每月利息按復數計算。

首先，學生根據要求試做，不少學生得出每期付款多少元，也有學生得出每期付款多少元。這時教師不必指出對錯，進一步分析、調整學生思維，這兩種方式對誰有利？學生計算后，自然得出前者對顧客有利，商家吃虧，而后者對商家有利，顧客吃虧，都不符合買賣公平的原則。

然后，教師適時的指出分期付款的條件，引導學生將原問題進行以下分解：商品在出售時的售價到全部付清時增值到多少？各期所付款額到貸款全部付清時分別增值到多少？利用付款中的有關規定列出方程：最后，引導深化——研究不同方案及一般結論，讓學生計算方案1、3，教師巡視指導，再由學生分組交流、比較結果，選擇最優方案，得出一般結論。

（作者單位：江西省撫州市金溪縣金溪一中）