釋《不同的解法 不同的結論》之疑

《中小學數學》2012年第1、2期刊出湖北周磯中學楊軍老師所撰《不同的解法 不同的結論》，文中提出兩個疑義，指出一道二次函數綜合題在求解（2）②時出現四個不同結論，求教各位專家。該題如下：

如圖，在平面直角坐標系xOy中 ，已知拋物線y=-x2+x+4與y軸相交于點B，與x軸相交于A、C兩點。

⑴求A、B、C三點的坐標；

⑵已知有一個動點從點A沿線段AC以每秒1個單位長度的速度移動；同時另一動點Q以同一速度從點B沿線段BC移動，當其中一個點到達端點時，另一個動點也隨之停止，設運動時間為t秒。

①探究：是否存在t的值，使得△PQC為等腰三角形，

若存在，求出所有可能的t的值；若不存在，說明理由。

②D在線段AC上，且AD=AB，若線段PQ被BD垂直平分，求t的值。

因郵局遺失我所訂該期雜志，待由雜志社寄來才開始拜讀所刊各文。閱畢此文之后，立即進行了演算。原來問題出現在（2）②中D既要滿足在AC上，且AD=AB，又要滿足BD垂直平分PQ，由此又有BP=BQ=AP（連結BP）。通常圖形中一個確定的點或線，只能滿足一個條件，如果它同時滿足另一個條件，這是需要通過證明，以保證應滿足的諸條件之間是相容的而不是矛盾的。試看本題中諸條件是否相容？

由已知易知OD=5-3=2，BO=4，∴∠DBO=arctan≈26°34′

∴∠CBD≈45°- 26°34′=18°26′

∵AD=AB， ∴∠ABD =∠ADB=(180°- ∠BAD )=(180°- arctan)

又∵AP=BP， ∴∠ABP=∠BAP= arctan

∴∠PBD=∠ABD-∠ABP=90°-arctan≈10°18′

顯然，∠CBD≠∠PBD， ∴此時BD不可能垂直平分PQ。

由此說明題中諸條件并不相容，這是造成同一問題出現四個不同結論的原因所在。

目前，此類問題并非少見，甚至教科書中也屢次出現，略舉兩例。

例1（浙教版《數學》七年級上冊有理數的乘法例3）

某校體育器材室共有60個籃球，一天課外活動，有3個班級分別計劃借籃球總數的、和，請你算一算，這60個籃球夠借嗎？如果夠了，還多幾個籃球？如果不夠，還缺幾個？

該教科書給出的解答是:不夠，還缺5個。

其實本題既是錯題又是錯解。

顯然，各班所借籃球總數不可能超過體育器材室的籃球總數，但++=＞1。

故屬錯題，按原解器材室再增加5個籃球，則65個就能按題中要求借給各班嗎？顯然仍不可能。

例2（北師大版《數學》八年級下相似三角形 例2）

如圖，已知△ABC∽△ADE， AE=50 cm， EC=30 cm，

BC=70cm， ∠BAC=45°，∠ACB=40°，求

（1）∠AED和∠ADE的度數;

（2）DE的長。

本題條件也互相矛盾，由AC=AE+EC=50+30=80(cm)，

BC=70cm， ∠ACB=40°，△ABC已經完全確定，從而∠BAC也完全確定，

且tan∠BAC=≈1.706。

∴∠BAC≈59°37′。

這顯然與題設條件∠BAC=45°矛盾。

（作者單位：浙江省余姚子陵中學

浙江省余姚實驗學校）