冪函數教學的課案設計

【摘要】綜合高中函數模塊中，冪函數課題既是學生學得難點，也是教師教的難點。江蘇省2010版單招考試數學考綱中，規定該考點為“了解冪函數舉例”。層次上已經弱化為最低一級的“了解”，理論上也弱化為指數為非零有理數時的具體“舉例”。即便如此，對于我們師生之間的教與學也是一個考驗。

【關鍵詞】冪函數 課案設計

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2012）10-0077-02

根據我校的課改要求，本人在校本教材與校本練習開發中，就課案設計構思上作了如下安排，課堂效益與輔導效果良好。

一、化歸鋪墊，認知數與形的結合

1.將非零有理指數變形為分數的形式： p、q既約，分母q為正整數，分子p為非零整數；當有理指數為整數時，分母q=1。

2.在第一象限，作三條輔助線x=1【過點（1，1）的x軸的垂線】；y=1【過點（1，1）的y軸的垂線】；y=x【過點（1，1）的第一象限的角分線】。

并將y=1變形為y=x0【補充規定當x=0時，y=1】；y=x變形為y=x1 。

3.分別作二次函數y=x2，反比例函數y=以及函數y=x的圖象并觀察：

①在第一象限中，觀察拋物線、雙曲線及y=x圖像與三條輔助直線的位置關系：

y=x2在直線x=1的右側位于直線y=x1之上，而有理指數>1；

y=x在直線x=1的右側位于直線y=x0與y=x1之間，而有理指數0<<1。

y=x-1在直線x=1的右側位于直線y=x0之下，而有理指數<0；

②判斷三個函數的奇偶性，觀察有理指數轉化為既約分數后分子、分母的奇偶性：

y=x2是偶函數，y=x2可變形為y=x，=，分母q為正奇數，分子p為正偶數；y=x-1為奇函數，y=x-1可變形為y=x，=，分母q為正奇數，分子p為負奇數；

y=x為非奇非偶函數，=，分母q為正偶數，分子p為（正）奇數。

4.①分析y=x，y=x分別與直線x=，x=4交點與三條輔助直線的相對位置關系；

②分析y=x，y=x分別與直線x=，x=8交點與三條輔助直線的相對位置關系；

③分析y=x，y=x分別與直線x=，x=4交點與三條輔助直線的相對位置關系。

5.討論y=x，y=x，y=x，y=x在y軸左側的圖象情形，分析指數分數的符號，分母q、分子p的奇偶性。

二、分類討論，合情歸納推理

第一類情形：分數為大于1的正數（>1）

在直線x=1的右側，y=x位于直線y=x1的上方，第一象限的圖象示意圖為：

（一）分母q為正偶數，分子p恒為正奇數（舉例如：y=x）

1.自然定義域為[0，+∞）（偶次根式 中，xp≥0，x≥0）

2.y=x為非奇非偶函數，圖象如圖1-1

3.值域為[0，+∞）（圖象在y軸上的正射影為y正半軸，包括原點）

4.圖象恒過點（1，1）以及原點。

（二）分母q為正奇數，分子p為正奇數（舉例如：y=x3）

1.自然定義域為R（奇次根式中xp∈R，x∈R）

2.y=x為奇函數，推知圖象如圖1-2

3.值域為R（圖象在y軸上的正射影為y軸）

4.圖象恒過點（1，1）以及原點。

第二類情形：分數為小于1的正數（0<<1）

在直線x=1的右側，y=x位于直線y=x0與y=x1之間，第一象限的圖象示意圖為：

（一）分母q為正偶數，分子p恒為正奇數（舉例如：y=x）

1.自然定義域為[0，+∞）（偶次根式中，xp≥0，x≥0）

2.y=x為非奇非偶函數，圖象如圖2-1

3.值域為[0，+∞]（圖象在y軸上的正射影為y正半軸，包括原點）

4.圖象恒過點（1，1）以及原點。

（二）分母q為正奇數，分子p為正奇數（舉例如：y=x）

1.自然定義域為R（奇次根式中，xp∈R，x∈R）

2.y=x為奇函數，推知圖象如圖2-2

3.值域為R （圖象在y軸上的正射影為y軸）

4.圖象恒過點（1，1）以及原點。

第三類情形：分數為負數（<0）

在直線x=1的右側，y=x位于直線y=x0的下方，第一象限的圖象示意圖為：

（一）分母q為正偶數，分子p恒為負奇數（舉例如：y=x）

1.自然定義域為（0，+∞）（代數式中，x-p>0，x>0）

2.y=x為非奇非偶函數，推知圖象如圖3-1

3.值域為（0，+∞）（圖象在y軸上的正射影為y正半軸，包括原點）

4.圖象恒過點（1，1），不過原點。

（二）分母q為正奇數，分子p恒為負奇數（舉例如：y=x-1）

1.自然定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）（代數式中，x-p≠0，x≠0）

2.y=x為奇函數，推知圖象如圖3-2

3.值域為（-∞，0）∪（0，+∞）（圖象在y軸上的正射影為除去原點的y軸）

4.圖象恒過點（1，1），不過原點。