關于數字積分插補算法的理解

摘要 數字積分插補算法是在數字積分器的基礎上建立起來的一種插補算法，易于實現多坐標聯動，在數控系統中得到廣泛應用。多數教材在講述該算法時，在推導了用累加和表示積分值的過程后，沒有進一步解釋算法中各參數的物理含義，學生理解起來有困難。本文基于數字積分法的原理，詳細闡述了算法中各參數的物理含義，并以數字積分直線插補算法為例做了進一步分析，便于學生掌握該算法的本質。

關鍵詞 數字積分插補算法 數控系統 物理含義

中圖分類號：TG659 文獻標識碼：A

0 引言

插補算法是影響數控系統性能的重要因素，是數控技術課程的核心內容，數字積分插補算法又稱數字微分分析法——DDA（Digital Differential Analyzer），是在數字積分器的基礎上建立起來的一種插補算法。它的優點是脈沖分配均勻，易于實現多坐標聯動，容易實現二次曲線、高次曲線和空間直線的插補，在數控系統中得到廣泛應用。

一般教材都結合函數積分原理講述該插補算法原理，即將函數 = （）在到區間的積分，近似視為曲線下許多小矩形面積之和。

一般還要假設為單位時間和累加器容量為單位面積而將上述公式變為：

若累加過程中超過一個單位面積就產生一個溢出脈沖，則累加過程所產生的溢出脈沖總數就等于所求的積分值。上述公式從數學角度容易理解，但是 用“1”替代的依據是什么，對應的是否發生相應變化，的物理含義是什么，多數教材并沒有進一步論述，這種內容上的模糊影響了學生對算法本質的理解。

1 數字積分插補算法的物理含義

數控插補算法的本質是將基本數控軌跡分解為數控運動所需的最小位移量，而位移正是速度的積分。因此，公式（1）中函數 = （）的物理含義應該是某個坐標軸的速度函數，下面對其做進一步說明。

假設某數控系統要加工的平面任意曲線，在及坐標軸的速度分量如圖1（a）和（b）所示，該曲線的數字積分插補算法工作過程是每個脈沖源到來時，對各運動軸的速度分量進行積分以確定相應坐標軸的位移量，當位移量超出一個脈沖當量時相應軸就溢出一個進給脈沖。可見，要走出給定的曲線輪廓，速度分量就要按曲線規律變化，并按公式（3）各自積分。

若將脈沖源周期看作 的單位時間“1”，脈沖當量看作累加器的單位面積容量，則的單位是脈沖當量/脈沖源周期，和分別指給定時間內和軸的位移，單位是脈沖（當量）個數。為保證插補精度，每次沿坐標軸進給脈沖不能超過一個，因此均應小于1。

可見，數字積分法的基本原理可以形象地比喻為“零存整取”，它將曲線在各坐標軸的速度與時間的乘積（即進給位移量）分段收集起來，當某個軸收集的進給量不夠指定值（通常等于脈沖當量）時就暫存在累加器里，超出指定值時就進給一個脈沖，同時溢出后的余數繼續用于后面的累加，直至到達曲線終點。

數控機床加工的典型輪廓由直線和圓弧組成，各個插補算法也主要包括直線插補和圓弧插補兩類，下面以第一象限的數字積分直線插補算法為例做進一步分析。假設直線起點為坐標原點，終點為，程編速度為。如前所述，要想控制數控系統走出直線，則和方向的速度必須保持如下關系，即：

由于數控機床在進行直線加工時，軌跡的終點是確定的，因此各個坐標軸的速度 = 和 = 也是不變的（而在圓弧加工時，各個坐標軸的速度是瞬時變化的）。按照前述解釋，和分別指單個脈沖源周期在和軸上各輸出多少個脈沖當量，且二者都應小于1。在硬件數字積分器里，通常取 = 1 / ，累加次數就統一為 = ，為累加器的位數；在軟件數字積分器里，的取值只要保證和小于1即可，一般也取成 = 1 / ，為所用數據變量長度。

2 結論

本文對數字積分插補算法的物理含義進行了詳細的解釋，使學生在理解數控插補算法時不再是生記一些枯燥的公式，便于其掌握數控插補算法的本質。

參考文獻

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