常見的不等式問題解題思路

不等式是高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)之一.由于不等式的證明難度大，靈活性強(qiáng)，技巧要求很高，常常使它成為數(shù)學(xué)高考中的高檔試題.而且，不論是幾何、數(shù)論、函數(shù)等許多問題，都與不等式有關(guān)，這就使得不等式的問題（特別是證明）尤為重要.雖然不等式證明沒有固定的模式，因題而異，靈活多變，技巧性強(qiáng)，但它也有一些基本的常用方法.要熟練掌握證明技巧，必須從學(xué)習(xí)這些基本的常用方法開始，善于分析題目的特征，綜合地利用添、拆、分解、組合、配方、變量代換、數(shù)形結(jié)合等方法才能發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，找到突破口.以下談?wù)劤Ｒ姷牟坏仁筋}型的解法與技巧.

一、重要不等式

1.平均值不等式設(shè)a1，a2，…，an是n個(gè)正實(shí)數(shù)，記Hn=n1a1+1a2+…+1an

，Gn=na1a2…an，

An=a1+a2+…+ann，Qn=a21+a22+…+a2nn

，分別稱Hn，Gn，An，Qn為這n個(gè)正數(shù)的調(diào)和平均、幾何平均、算術(shù)平均數(shù)、平方平均．

那么恒有不等式Hn≤Gn≤An≤Qn，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an.

2.柯西不等式對任意實(shí)數(shù)組ai，bi(i=1，2，…，n)恒有不等式“積和方不大于方和積”，即

(∑ni=1aibi)≤(∑ni=1a2i)(∑ni=1b2i)

，等式當(dāng)且僅當(dāng)a1b1=a2b2=…=anbn時(shí)成立.

本不等式稱為柯西不等式.

3.排序不等式設(shè)有兩組實(shí)數(shù)，a1，a2，…，an和b1，b2，…，bn滿足

a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn，



則a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1c1+a2c2+…+ancn≤a1b1+a2b2+…+anbn，其中c1，c2，…，cn是實(shí)數(shù)組b1，b2，…，bn的一個(gè)排列，等式當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn時(shí)成立，

即倒序和≤亂序和≤正序和.

4.三角不等式設(shè)Z1，Z2為任意復(fù)數(shù)，則||Z1|-|Z2||≤|Z1+Z2|≤||Z1|+|Z2||.

二、解題技巧

1.比較法（作差法或比差法）比較實(shí)數(shù)a和b的大小，作差——變形——判斷（正號(hào)、負(fù)號(hào)、零）；變形時(shí)常用配方、通分、因式分解、和差化積、應(yīng)用已知定理、公式法等.在a，b均為正數(shù)時(shí)，也可借助ab＞1或ab＜1來判斷：作商——變形——判斷（大于1或小于1）.

【例1】 設(shè)a＞b＞0，求證：aabb＞abba.

證明：因?yàn)閍＞b＞0，所以ab＞1，a-b＞0.而aabbabba=(ab)a-b＞1，故aabb＞abba.

2.分析法（逆推法）從要證明的結(jié)論出發(fā)，一步一步地推導(dǎo)，最后達(dá)到命題的已知條件（可明顯成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推導(dǎo)過程都必須可逆.

【例2】 求證：5+7＞1+15.

證明：要證5+7＞1+15，即證12+235＞16+215，即35＞2+15，35＞19+415，415＜16，15＜4，15＜16，由此逆推即得5+7＞1+15.

3.綜合法證明時(shí)，從已知條件入手，經(jīng)過逐步的邏輯推導(dǎo)，運(yùn)用已知的定義、定理、公式等，最終達(dá)到要證結(jié)論，這是一種常用的方法.

【例3】 n≥2，且n∈N，求證：1+12+13+…+1n＞n(nn+1-1).

證明：因?yàn)?+12+13+…+1n+n=(1+1)+(12+1)+(13+1)+…+(1n+1)

=2+32+43+…+n+1n＞n?n2?32?43?…?n+1n=n?nn+1.



所以1+12+13+…+1n＞n(nn+1-1).

4.放縮法在證題中，根據(jù)不等式的傳遞性，常采用舍去一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)）而使不等式的各項(xiàng)之和變?。ɑ蜃兇螅?，或把和（或積）里的各項(xiàng)換以較大（或較小）的數(shù)，或在分式中擴(kuò)大（或縮?。┓质街械姆肿樱ɑ蚍帜福瑥亩_(dá)到證明的目的.值得注意的是“放”、“縮”要得當(dāng)，不要過頭.常用方法為：改變分子（分母）放縮法、拆補(bǔ)放縮法、編組放縮法、尋找“中介量”放縮法.

【例4】 求證：12?34?56?…?999910000＜0.01.

證明：令p=12?34?56?…?999910000，則

p2=122?3242?5262?…?99992100002＜122-1?3242-1?…?99992100002-1=110001＜110000.



所以p＜0.01.

5.反證法

先假設(shè)結(jié)論不真，由此經(jīng)過合理的邏輯推導(dǎo)得出矛盾，從而否定假設(shè)，導(dǎo)出結(jié)論的正確性.

【例5】 在面積是1的△ABC中，P是BC上任意一點(diǎn)，PE∥AB交AC于E，PF∥CA交AB于F，

證明:△BPF、△PCE和四邊形PEAF中，至少有一個(gè)的面積不小于49.

證明：（反證法）若不然，令BPBC=x，x2＜490＜x＜23，

(1-x)2＜4913＜x＜1，1-x2-(1-x)2＜49x＞23或x＜13，

無解，故命題真.

6.排序法利用排序不等式來證明.

【例6】 在△ABC中，試證：π3≤aA+bB+cCa+b+c＜π2.



證明：不妨設(shè)a≤b≤c，于是A≤B≤C.

由排序不等式，得aA+bB+cC≥aA+bB+cC，

aA+bB+cC≥bA+cB+aC，

aA+bB+cC≥cA+aB+bC.

以上三式相加，得3(aA+bB+cC)≥(a+b+c)(A+B+C)=π(a+b+c)，

得aA+bB+cCa+b+c≥π3. ①

又由0＜b+c-a，0＜a+b-c，0＜a+c-b有0＜A(b+c-a)+C(a+b-c)+B(a+c-b)=a(B+C-A)+b(A+C-B)+c(A+B-C)

=a(π-2A)+b(π-2B)+c(π-2C)=(a+b+c)π-2(aA+bB+cC)，



得aA+bB+cCa+b+c＜π2. ②

由①、②得原不等式成立.

7.函數(shù)法通過變換，把某些問題歸納為求函數(shù)（含導(dǎo)函數(shù)）的極值，達(dá)到解題目的.

【例7】 設(shè)x∈R，求證：-4≤cos2x+3sinx≤218.

證明：f(x)=cos2x+3sinx=1-2sin2x+3sinx=-2(sinx-34)2+218.

當(dāng)sinx=34時(shí)，f(x)取最大值218；

當(dāng)sinx=-1時(shí)，f(x)取最小值－4.

故-4≤cos2x+3sinx≤218

.

8.代換法在證題過程中，以變量代換的方法，選擇適當(dāng)?shù)妮o助未知數(shù)，使問題的證明達(dá)到簡化.

【例8】 已知a＞0，b＞0，0＜x＜1，求證：a2x+b21-x≥(a+b)2.



證明：令x=cos2β，1-x=sin2β，則

左邊=a2sec2β+b2csc2β

=a2(1+tan2β)+b2(1+cot2β)

=a2+b2+a2tan2β+b2cot2β

≥a2+b2+2ab=(a+b)2.

在實(shí)際解題中還有許多方法的，如判別式法、構(gòu)造法、數(shù)形結(jié)合法、分解法等等.這些方法往往相互結(jié)合、互相包含，有時(shí)會(huì)把幾種方法巧妙結(jié)合起來才能解題.

鞏固練習(xí)：

1．設(shè)n∈N*，n＞1，求證：C1n+C2n+…+Cnn＞n?2n-12.



2．若a＞0，b＞0，且a+2b=6，求lga+2lgb的最大值.

3．若a+2b=12，求2a+2b+1的最小值.

4．已知x-y=1(x＞1)，求u(x，y)=1y3+x+1 的最小值.

5．x2+2y2=1，求u(x，y)=x+2y的最值.

6.設(shè)三個(gè)正實(shí)數(shù)a，b，c滿足(a2+b2+c2)2＞2(a4+b4+c4)，

求證： a，b，c一定是某三角形的三邊長.

7.設(shè)x，y，z∈R+，求證:x2y2+z2+yz +y2z2+x2+zx +z2x2+y2+xy ≥1.



8.設(shè)x，y，z∈R+，且x+2y+3z=36，求1x+2y +3z

的最小值．

9．若a>0，b>0，則a6+b62 ≥a+b2 ?a2+b22 ?a3+b32

．

(責(zé)任編輯 金 鈴）