《圓的參數方程》教學設計

一、教學目標設計

知識與能力：1、理解圓的參數方程 ，能熟練求出圓心在原點、半徑為r的圓的參數方程；2、理解圓心不在原點的圓的參數方程 ，能根據圓的圓心坐標和半徑熟練的求出圓的參數方程；3、了解參數方程的概念；4、能進行圓的普通方程與參數方程互化，并能用之解題；過程與方法：在學習中探索出圓的參數方程并能對其進行應用；

情感態度與價值觀：通過本節的學習讓學生感受數、形、式間的聯系；

二、教學重點：圓的參數方程的推導及圓的參數方程與普通方程的互化；

三、教學難點：對圓的參數方程 的推導及應用其解題；

四、教學方法：探索發現法 問題式教學法

五、課時安排：1課時

六、教學過程設計：

Ⅰ、知識回顧（課件展示，教師引導學生回顧知識點，學生完成以下橫線空格的填寫）

1、圓的標準方程是(x-a)2+(y-b)2=r2，它表示的是以C(a，b)為圓心，以r為半徑的圓；

2、圓的一般方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0（其中D2+E2-4F>0），它表示的是以 為圓心，以 為半徑的圓；

Ⅱ、新課

1、圓的參數方程的推導

（1）如圖，設⊙O的圓心在原點，半徑是r，與x軸正半軸的交點為P0，在圓上任取一點P，若將OP0按逆時針方向旋轉到OP位置所形成的角∠P0OP=θ， 求P點的坐標：

點P的橫坐標x和縱坐標y都是θ的函數，即 ①

顯然，對于θ的每一個允許值，由方程組①所確定的點P(x，y)都在⊙O上。我們把方程組①叫做圓心為原點、半徑為r的圓的參數方程，θ是參數．

（2）圓心為O1(a，b)，半徑為r的圓的參數方程是怎樣的？

如圖⊙O 可以看成由⊙O按向量 平移而得到即對于⊙O上任意一點P1(x1，y1)，在⊙O1上必有一點P（x，y），使 ，又因為 ， ，所以(x1，y1)=(x-a，y-b)即是

從而 ②，代入②式可以得到圓心為O1（a，b），半徑為r的圓的參數方程是 （θ為參數）

2、參數方程的概念

在取定的坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x、y都是某個變數t的函數， ③并且對于t的每一個允許值，方程組③所確定的點M(x，y)都在這條曲線上，那么方程組③就叫做這條曲線的參數方程，聯系x、y之間關系的變數叫做參變數，簡稱參數．

3、參數方程和普通方程的互化

相對于參數方程來說，前面學過的直接給出曲線上點的坐標 、 關系的方程，叫做曲線的普通方程．將曲線的參數方程中的參數消去，可得到曲線的普通方程。參數方程和普通方程可以互化．

4、例題解析

例1 曲線C： （θ為參數）的普通方程是： ；

例2 若直線y=x-b與曲線 有兩個交點，則實數b的取值范圍為 ；

解析：方法1：（代數法）由 ，由 得

方法二：（幾何法）由 ，則圓心（2，0）到直線y=x-b的距離 解不等式得：

練習：若曲線 （θ為參數）與直線x++y+a=0有公共點，求a的范圍；

例3 如圖，已知點P是圓x2+y2=16上的一個動點，點A(12，0)是x軸上的一定點，當點P在圓上運動時，線段PA的中點M的軌跡是什么？

解：設點M(x，y)，∵圓x2+y2=16的參數方程為 ，∴設點P(4cosθ，4sinθ)，由線段中點坐標公式得 ，即點M軌跡的參數方程為 ，∴點M的軌跡是以點(6，0)為圓心、2為半徑的圓．

練習：課本P89，練習3

例4已知實數x、y滿足方程x2+y2+2y=0，（1）求x+y的最大值；（2）求 的取值范圍；

解：由原方程可得：x2+(y+1)2=1，它表示圓，參數方程為

（θ為參數，0≤θ<2π）

（1）

當 時，x+y有最大值

（2） 的值可看成是過圓上任意一點(x，y)與點（2，0）的直線的斜率k，即 ∴由圓心（0，-1）到直線kx-y-2k=0的距離d≤r得 解不等式得 即

練習：1、若x2+y2，則x+y的取值范圍是 ；

2、（課本P91第11題）求函數 的最大值和最小值；

Ⅲ、小結：1．圓心為原點、半徑為r的圓的參數方程 ，

（θ為參數）；2．圓心為O1（a，b），半徑為r的圓的參數方程

（θ為參數）；3．參數方程和普通方程的互化，要注意等價性。

Ⅳ、作業：課本第90–91頁習題第9，10題；

補充：已知曲線C的參數方程為 （θ為參數）， P（x，y）是曲線C上任意一點， ，求t的取值范圍；