正方體的涂色問題——探索規(guī)律

教學目標：

1、 通過操作、觀察、想象、抽象概括等活動，激發(fā)學生探索規(guī)律的欲望，體驗數(shù)學活動充滿探索與創(chuàng)新。

2、獲得一些研究數(shù)學問題的方法和經驗，加深對相關數(shù)學知識的理解。

3、 經歷特殊到一般的過程，體會數(shù)學與生活的聯(lián)系，感受歸納的數(shù)學思想，掌握找規(guī)律的方法與步驟。

教學難點：找出涂色不同的小正方體個數(shù)以及它所在位置規(guī)律。

教學重點：找出涂色不同的小正方體個數(shù)以及它所在位置規(guī)律。

教學準備：若干各小正方體、演示課件

教學過程：

一、復習

出示正方體：看到這個形體你能想到什么？

（啟發(fā)學生說說正方體的特征）

二、激趣導入，引出新課：

1、這是一個棱長是3個長度單位的正方體，在它的每個面上都涂上綠色。再把它切成棱長是1個長度單位的小正方體。展示給大家看，演示散落。

（教師演示，學生觀看）

2、你能把它恢復原狀嗎？小組比賽3分鐘完成。

（師生同時一起各自進行還原，把已經散落的正方體恢復原狀）

3、知道老師為什么能很快把它還原嗎？

師：因為老師知道他的規(guī)律

三、新授

涂色的小正方體的個數(shù)以及它所在的位置是有規(guī)律的，這節(jié)課我們就來研究正方體的涂色問題。

（一）出示學習要求：

1、觀察組內的小正方體，涂色的有幾面分幾種情況。

2、出示統(tǒng)計表

3、棱長是3個長度單位可以看做是棱長3厘米的正方體，各個涂色面的小正方體又有多少個呢？小組合作看那個小組數(shù)的又快又準。

4、填表并觀察數(shù)據(jù)猜想涂色面的小正方體與什么有關？它們分別在大正方體的什么位置？

（二）探索規(guī)律：

探索一：把一個正方體表面涂上顏色.把正方體的棱二等分，然后沿等分線把正方體切開.

1、可以得到幾個小正方體?

2、其中三面涂色的有幾個?

3、兩面涂色的有幾個?

4、一面涂色的有幾個?

5、各面都沒有涂色的有幾個? 討論后，把結果填下表：棱長為2的正方體

探索二：把一個正方體表面涂上顏色.把正方體的棱三等分，然后沿等分線把正方體切開.

1、可以得到幾個小正方體?

2、其中三面涂色的有幾個?

3、兩面涂色的有幾個?

4、一面涂色的有幾個?

5、各面都沒有涂色的有幾個? 棱長為3的正方體

討論電腦驗證，把結果填入表格。

涂三個面的小正 涂兩個面的小正 涂一個面的小正

方體所在的部位 方體所在的部位 方體所在的部位

探索三：把一個正方體表面涂上顏色.把正方體的棱四等分，然后沿等分線把正方體切開.

1、可以得到幾個小正方體?

2、其中三面涂色的有幾個?

3、兩面涂色的有幾個?

4、一面涂色的有幾個?

5、各面都沒有涂色的有幾個?

討論后把結論填入表格。 棱長為4的正方體

涂三個面的小正 涂兩個面的小正 涂一個面的小正

方體所在的部位 方體所在的部位 方體所在的部位

思考:你是怎樣有條理的思考的?

探索四：把一個正方體表面涂上顏色.把正方體的棱五等分，然后沿等分線把正方體切開.

1、可以得到幾個小正方體?

2、其中三面涂色的有幾個?

3、兩面涂色的有幾個?

4、一面涂色的有幾個?

5、各面都沒有涂色的有幾個? 棱長為5的正方體

涂三個面的小正 涂兩個面的小正 涂一個面的小正

方體所在的部位 方體所在的部位 方體所在的部位

探索五:把一個正方體表面涂上顏色.把正方體的

棱六等分，然后沿等分線把正方體切開.

1、可以得到幾個小正方體?

2、其中三面涂色的有幾個?

3、兩面涂色的有幾個? 棱長為6的正方體

4、一面涂色的有幾個?

5、各面都沒有涂色的有幾個?

涂三個面的小正 涂兩個面的小正 涂一個面的小正

方體所在的部位 方體所在的部位 方體所在的部位

探索六：把一個正方體表面涂上顏色.把正方體的棱n等分，然后沿等分線把正方體切開.

1、可以得到幾個小正方體?

2、其中三面涂色的有幾個?

3、兩面涂色的有幾個?

4、一面涂色的有幾個?

5、各面都沒有涂色的有幾個?

（三）師生共同歸納一般規(guī)律：

首先我們來看第一個小問題：

1、三面涂色的小正方體有多少個？

這個問題假如我們從正方體的頂點來看就很簡單，三面都涂色的小正方體只出現(xiàn)在未分割的大正方體的頂點上，而正方體又只有8個頂點，所以三面涂色的小正方體分布在分割后的大小正方體的8個頂點上，三面涂色的小正方體都有8個。

2、其次我們來看第二個問題：

兩面涂色的小正方體有多少塊？

這個問題我們可以從正方體的棱來考慮，我們從圖中可以看出只有處在每條棱上的（頂點除外）小正方體是兩面都涂色的。所以兩面涂色的小正方體有（n－2）×12個。（這里的n是表示把棱長平均分成的份數(shù)，減去2，是把頂點上的三面涂色的去掉；12是棱的條數(shù)。）。

3、再次我們來看第三個問題：

一面涂色的小正方體有多少塊？

這個問題我們可以從正方體的面來考慮，我們可以從圖中看到：只有處在每個面中央的小正方體是一面涂色的（中央：把處在頂點和棱上的小正方體都去掉所剩下的小正方體）。每個面一面涂色的正方體的個數(shù)是（n－2）×（n－2），整個正方體六個面只有一面涂色的正方體的個數(shù)是就是（n－2）2×6個。

4、最后我們來看第四個問題：

六面都不涂色的小正方體有多少塊？

所有六面都不涂色的小正方體就是原來的大正方體去掉外面一層小正方體后，包裹在里面的正方體。包裹在里面的六面都不涂色正方體的棱長是（n－2），分割后所有六面都不涂色的小正方體小正方體的個數(shù)是：（n－2）×（n－2）×（n－2）個。

四、課堂小結：

同學們真了不起，自己發(fā)現(xiàn)了這么重要的數(shù)學規(guī)律。我們一起來回憶一下：三面涂色的小正方體位于大正方體的（ ），正方體一共有（ ）個；兩面涂色的小正方體位于大正方體的（ ），一共有（ ）個；一面涂色的小正方體位于大正方體的（ ），一共有（ ）個；沒有涂色的小正方體位于大正方體的（），一共有（ ）個。

師生共同總結：

（1）三面涂色的小正方體的塊數(shù)就是頂點的個數(shù)8個。

（2）兩面涂色的小正方體的塊數(shù)＝(n－2)×12個；

（3）一面涂色的小正方體的塊數(shù)＝（n－2）2×6個；

（4）六面都不涂色的小正方體的塊數(shù)＝（n－2）3個。