分離參數(shù)求參數(shù)范圍的高考?jí)狠S題

　　摘 要： 近年來(lái)，關(guān)于函數(shù)的高考?jí)狠S題越來(lái)越難，而且含有參數(shù)，很多人發(fā)現(xiàn)，高考題給出來(lái)的標(biāo)準(zhǔn)答案都看不懂，連答案都看不懂的題目，怎么會(huì)做呢？不過(guò)高考給出的標(biāo)準(zhǔn)答案基本沒(méi)有采用分離參數(shù)的方法，參數(shù)討論的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)自然不好把握，但是很多題目是可以分離參數(shù)的，只是分離后新的函數(shù)并不太好處理，有的需要用到零點(diǎn)定理，有的需要多次求導(dǎo)，有的需要用羅必塔法則，等等.作者認(rèn)為只要題目能分離參數(shù)，就可以解出，只是道路可能比較坎坷，就這些問(wèn)題作者做了研究，與大家分享.
　　關(guān)鍵詞： 分離參數(shù) 參數(shù)范圍 高考?jí)狠S題
　　
　　例1.已知a＞0，函數(shù)f（x）=x-2ax-2alnx，方程f（x）=0在（0，+∞）上有唯一解，求a的值.
　　解：分離參數(shù)求解：2a=（x＞0）有唯一解，下面只需畫(huà)出g（x）=（x＞0）的草圖即可.
　　錯(cuò)解：g′（x）=（x＞0），x∈（0，1）時(shí)g′（x）＜0，則g（x）在（0，1）單調(diào)遞減，x∈（1，+∞）時(shí)g′（x）＞0，則g（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，∴g（x）=g（1）=1，∴2a=1∴a=.
　　仔細(xì)分析，發(fā)現(xiàn)g（x）=0，但是g（1）=1，那么g（x）在（0，1）內(nèi)怎么可能單調(diào)遞減呢？
　　正解：g（x）=（x＞0）的分母h（x）=x+lnx（x＞0）在（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)（這可以通過(guò)零點(diǎn)定理驗(yàn)證，也可以通過(guò)作出兩個(gè)函數(shù)y=lnx及y=-x的圖像發(fā)現(xiàn)）.設(shè)這個(gè)零點(diǎn)為x，x∈（0，x）時(shí)g′（x）＜0，則g（x）在（0，x）單調(diào)遞減；x∈（x，1）時(shí)g′（x）＜0，則g（x）在（x，1）單調(diào)遞減.又g（x）=-∞，g（x）=+∞，即x=x為函數(shù)g（x）=（x＞0）的漸近線(xiàn)，x∈（1，+∞）時(shí)g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，因此，可以作出g（x）=（x＞0）的草圖，又g（1）=1，∴2a=1，a=.
　　例2.（2011新課標(biāo)全國(guó)卷最后一題）已知函數(shù)f（x）=+，曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程為x+2y-3=0.（1）求a，b的值；（2）證明：當(dāng)x＞0，且x≠1時(shí)，f（x）＞+，求k的取值范圍．
　　分析：對(duì)于第（1）問(wèn)，易得a=b=1，而對(duì)于第（2）問(wèn)，分離參數(shù)后所得函數(shù)需要多次求導(dǎo)，最終使用羅必塔法則解決.
　　解：（2）∵x＞0∴分離參數(shù)得k＜+1對(duì)?坌x∈（0，1）∪（1，+∞）恒成立，
　　令g（x）=+1（x＞0且x≠1），∴g′（x）=（x＞0且x≠1）.
　　令h（x）=xlnx+lnx-x+1（x＞0且x≠1），∴h′（x）=（x＞0且x≠1）.
　　令q（x）=2xlnx-x+1（x＞0且x≠1），∴q′（x）=4xlnx（x＞0且x≠1）.
　　∵x∈（0，1）時(shí)，q′（x）＜0，∴q（x）在（0，1）單調(diào)遞減；x∈（1，+∞）時(shí)，q′（x）＞0，∴q（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，∴q（x）＞q（1）=0，即h′（x）＞0，∴h（x）在（0，1）與（1，+∞）均單調(diào)遞增，∴x∈（0，1）時(shí)，h（x）＜h（1）=0，∴g′（x）＜0，∴g（x）在（0，1）單調(diào)遞減；x∈（1，+∞）時(shí)，h（x）＞h（1）=0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，∴g（x）＞g（x）而g（x）=+1=+1=-1+1=0（這由羅必塔法則得到），∴g（x）值域?yàn)椋?，+∞），∴k≤0.
　　附：羅必塔法則：當(dāng)x→a（或x→∞）時(shí)，如果兩個(gè)函數(shù)f（x）與F（x）都趨于零或趨于無(wú)窮大，那么，它們的比的極限可能存在，也可能不存在．通常把這種極限叫做未定式，并分別簡(jiǎn)記為或．如果極限為“”型或“”型未定式的極限，并且存在或?yàn)椤蓿瑒t=.
　　例3.已知函數(shù)f（x）=，?坌x∈［0，+∞），f（x）≤ax，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
　　解：分離參數(shù)求解：x=0時(shí)，顯然成立.
　　?坌x∈（0，+∞）時(shí)，a≥恒成立，令g（x）=（x＞0），
　　下面求g（x）的上界，g′（x）=（x＞0），
　　令h（x）=2xcosx+x-2sinx-sinxcosx（x＞0），
　　h′（x）=2sinx（sinx-x）（x＞0），易證x＞0時(shí)，sinx＜x，∴sinx-x＜0
　　∴sinx＞0即x∈（2kπ，2kπ+π）（k∈N）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；
　　sinx＜0即x∈（2kπ+π，2kπ+2π）（k∈N）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
　　又h（2kπ）=6kπ＞0，h（2kπ+π）=-2kπ-π＜0，∴h（x）在每個(gè)區(qū)間（2kπ，2kπ+π）（k∈N）內(nèi)必有零點(diǎn)，這些零點(diǎn)從小到大記為x，x，x，…，且它們都是極大值點(diǎn)，所以g（x）的上界要么在x=0處取，要么在極大值點(diǎn)x（i=1，2，3，…）處取.
　　而g（x）===，
　　令g′（x）=0，∴2xcosx+x-2sinx-sinxcosx=0，∴sinx=代入g（x）===，i=1，2，3，…
　　易求y=（2kπ＜x＜2kπ+π，k∈N）值域?yàn)椋?1，），所以g（x）＜.
　　對(duì)于分離參數(shù)求解，既有利又有弊，利在于思路清晰，弊在于有些問(wèn)題分離過(guò)參數(shù)后很復(fù)雜，但是很多問(wèn)題如果不分離參數(shù)，則連答案都看不懂，還不如分離參數(shù)試試，希望本文對(duì)幾個(gè)問(wèn)題的研究，能對(duì)讀者以后遇到類(lèi)似問(wèn)題有所幫助.