淺談如何加強數學思維靈活性的訓練

　　摘要：在數學教學中，經常發現學生思維反映的差異。文章就此問題進行分析討論。通過具體實例論證了數學思維的靈活性訓練的重要性和實踐體會。
　　關鍵詞： 數學教學；數學思維；靈活性訓練
　　數學創造性思維的培養是每一位教師教學生涯中孜孜不倦地探討問題，多年的教學經驗告訴我們，數學創造性思維的培養，離不開數學思維靈活性的培養，它們同屬于數學思維品質的范疇，它們之間相互聯系，相得益彰。
　　一、數學思維靈活性概述
　　在數學教學中，思維的靈活性表現為：善于根據題設中的具體情況，全面地、科學地考察問題、分析問題，從各種聯系中去認識事物，及時地提出新的設想和解題方案，不固執己見，不拘泥于陳舊的方案。不僅能夠把握住事物的全體，抓住事物的基本特征，而且也不會忽視重要的細節問題。它體現了學生在智力活動中靈活程度上的差異，是數學思維的重要品質之一。
　　二、數學思維靈活性的培養
　　大家知道數學問題千變萬化，要想既快又準地解出數學題，總用一個固定的套路或方案是行不通的，必須視試題具體情況，合理地進行思維轉化，靈活應用各方面相關知識，確定解題方案，常常能化繁為簡，化難為易，也就是說必須具有思維的靈活性。筆者認為要從以下幾個方面加強數學思維靈活性的訓練。
　　（一）善于觀察與發現
　　心理學告訴我們，感覺和知覺是認識事物的最初形式。而觀察則是知覺的高級狀態，是一種有目的的、有計劃的，比較持久知覺。觀察是認識事物的基本途徑，它是了解問題、發現問題和解決問題的前提，是聯想的基礎。任何一道數學題都包含一定的條件與關系。要想解決它，就必須依據題目的具體特征，對題目進行深入的、細致的、透徹的觀察，然后認真思考，透過表面現象看其本質，這樣才能確定解題思路，找到解題方法。
　　例一 求和■+■+■+■+...■。顯然，通分相加是很困難的。必須尋求靈活的解法。觀察它的具體特征：每項都是兩個相鄰自然數的積的倒數，且■=■- ■， 這樣原式就等于1-■+■-■+ ...+ ■-■=1-■。問題也就解決了。
　　例二 當S=■，求S的整數部分。
　　[解題分析] 顯然通過去分母化為小數是非常繁難，甚至是不可能的，必須尋找可行的靈活解決辦法。觀察可以發現：這一繁方式繁就繁在它的分母，若將問題進行倒置處理，就給人“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”的感覺。
　　且12×■<■<12×■，分子分母再“倒一倒”
　　∴■>S>■， 即165　　故S的整數部分為165.
　　[思維障礙] 此題利用常規解法：去分母化簡，進行了大量的計算，問題不一定能夠解決。原因是沒有注意到試題的內在的聯系。因此，解題時，不必急于動筆，應該全面地、整體地看問題，認真觀察題目的特征，相應地采取有效的方法。
　　雖然觀察看起來是一種表面現象，但它是認識事物內部規律的基礎。所以，必須重視觀察能力的訓練，使學生不能總是用常規的方法解題，而且能根據題目的特征，采取特殊的方法來解題。
　　（二）善于聯想與轉化
　　聯想是問題轉化的橋梁。具有一定難度的問題和基礎知識之間的聯系都是不明顯的、間接的、復雜的。因此，怎樣解題，解題的速度如何，取決于能否由觀察到的特征，靈活運用有關知識，作出相應的聯想，將問題打開缺口，不斷深入。
　　例三 解方程組x+y=-6xy=5這個方程組指明兩個數的和是-6，兩個數的積是為5。由此聯想到一元二次方程的根與系數關系，x、y是一元二次方程t2 + 6t + 5 = 0的兩根，所以，求出兩組解為：x1=-1、y1=-5，x2 = -5、y2 = -1。可見，聯想可使問題變得簡單。
　　例四 對于x∈R，確定y=■-■的所有可能的值。
　　[解題分析]這一題目簡單得無從下手，顯然要阻則思變，由于被開方式為二次三項式，易聯想到配方，聯想到解析幾何知識，將配方結果與兩點間的距離公式相比照，可設想y為線段之差，利用三角形三邊基本關系兩邊之差小于第三邊，y范圍就容易得到。
　　y=■-■
　　=■-■2 x∈R
　　建立平面直角坐標系(如右圖)，
　　取三點P（x，0），A(-■，■ )，B(■，■ )
　　則|PA| =■ ， |PB|