在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的實(shí)踐和體會

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的內(nèi)在形成，是獲取知識、發(fā)展思維能力的工具，是“靈魂”的組成部分，只有充分掌握領(lǐng)會，才能有效地應(yīng)用知識、形成能力，以數(shù)學(xué)思想方法統(tǒng)領(lǐng)數(shù)學(xué)教學(xué)，才能把數(shù)學(xué)教學(xué)上升到一個高級的階段。另外，新課標(biāo)首次明確地將基本思想劃入數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識范圍，也充分反映了數(shù)學(xué)思想方法的重要地位，因此，初中數(shù)學(xué)教師必須加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。

1 初中數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)思想方法

初中數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)思想方法包括：1）用字母表示數(shù)的思想；2）歸納概括思想；3）數(shù)形結(jié)合思想；4）轉(zhuǎn)化的思想（或稱化歸思想）；5）分類討論思想；6）函數(shù)思想；7）方程思想；8）整體思想。其中，分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化思想是最閃亮的明星，擁有了它們也就擁有了駕馭知識的睿智，擁有了面對陌生的科技難題敢于直面、善于攻克的創(chuàng)新能力。

當(dāng)面臨的問題情景復(fù)雜、層次較多、視野廣泛時，可以運(yùn)用分類討論的思想方法來加以解決，即可以選擇一個適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)，按照不重、不漏的原則，將其分解為一系列情景簡單、層次單一而且比較熟悉的小問題，然后各個擊破，再把解決了的小問題綜合起來而獲得對原問題的解決，實(shí)現(xiàn)化難為易、化繁為簡的目的。

進(jìn)行分類討論思想的教學(xué)，需明確3個方面的問題。

1）化隱為顯。分類討論思想和其他數(shù)學(xué)思想一樣，并非全部顯于明處，而是隱藏于知識中間。學(xué)生在課本的字里行間看不出來，因此教師必須鉆研教材，把隱藏于知識中的分類討論思想方法揭露出來，讓學(xué)生在知識的形成過程中逐步領(lǐng)會和初步學(xué)會運(yùn)用分類討論思想。初中代數(shù)中出現(xiàn)或蘊(yùn)涵的分類討論思想方法很多，如相反數(shù)、絕對值、有理數(shù)比較大小、有理數(shù)的運(yùn)算等。

2）分類評析、概括判斷，這是運(yùn)用分類討論思想解決問題的一般步驟，即先確定分類的對象及范圍，再選擇恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，然后分別在各類中進(jìn)行研究，最后綜述問題的結(jié)論。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生利用這一步驟來研究問題，掌握分析方法。例如，在一元二次方程的根的判別式及其判別法則形成的過程中，先引導(dǎo)學(xué)生明確找出分類的對象、標(biāo)準(zhǔn)，再討論分類結(jié)果，最后歸納總結(jié)出根的判別法則。

3）小步走、多層次。分類討論思想與知識教學(xué)緊密結(jié)合，與學(xué)生認(rèn)識水平相適應(yīng)，應(yīng)注意循序漸進(jìn)，逐步應(yīng)用發(fā)展。從初一有理數(shù)的分類，到初二算術(shù)平方根的概念，再到初三函數(shù)性質(zhì)的討論，分類討論思想貫穿于其中。

數(shù)學(xué)大師華羅庚說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微。”數(shù)形結(jié)合，直觀又入微。數(shù)學(xué)最本質(zhì)的東西是抽象，而數(shù)學(xué)又把抽象的東西形象化，再通過直觀的形象來深化抽象的內(nèi)容。這種抽象中的形象就是數(shù)形結(jié)合的思想。例如，數(shù)軸和直角坐標(biāo)系，建立了數(shù)（或數(shù)對）與點(diǎn)的聯(lián)系，就可以用幾何形象來表示代數(shù)問題，用代數(shù)運(yùn)算替代幾何推理，使代數(shù)性質(zhì)圖象化，圖形性質(zhì)代數(shù)化。

【例】已知＜，＞，且＜，求+的值。

【解】，且＜，在數(shù)軸上表示如圖1所示。

∴，即即。∴。

又如，列方程（組）解應(yīng)用題與算術(shù)法相比有居高臨下、省時省力的特點(diǎn)；同樣，對于平面幾何問題，若能恰當(dāng)?shù)卦O(shè)置未知量，讓列方程（組）解應(yīng)用題去大顯身手，這種圖形性質(zhì)代數(shù)化的做法也魂系數(shù)形結(jié)合思想。對抽象的數(shù)賦予直觀的意義，以形助數(shù)或?qū)χ庇^的圖形賦予代數(shù)的意義，以數(shù)幫形，這些都會使數(shù)形結(jié)合的思想大展宏圖。

【例】如圖2所示，一圓內(nèi)切于△ABC，與AB、BC、AC切于D、E、F，且AC·CB=2AD·DB。求證：△ABC為直角三角形。

【證明】∵⊙O內(nèi)切于△ABC

∴設(shè)AD=AF=x，BD=BC=y，CE=CF=z

∵AC·CB=2AD·DB

∴①

整理得：

∴（負(fù)根舍去）

∴

兩邊平方，整理得：

②

∴把①代入②得：

即：

∴△ABC為直角三角形。

轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中最基本、最重要的一種思想，在初中數(shù)學(xué)中廣泛地滲透著這種思想，幾乎每個章節(jié)都存在轉(zhuǎn)化思想的影子。結(jié)合課本和教學(xué)內(nèi)容的需要，巧妙地將轉(zhuǎn)化思想傳播給學(xué)生，以便提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平和解決問題的能力。例如，在例題的講解和學(xué)習(xí)中，許多例題本身就是轉(zhuǎn)化思想典型；在習(xí)題的解答中，轉(zhuǎn)化思想往往是問題解決的突破口；在復(fù)習(xí)知識體系時，各知識間的聯(lián)系更是轉(zhuǎn)化思想的生動體現(xiàn)。

2 把數(shù)學(xué)思想方法精心設(shè)計(jì)到教學(xué)過程中去

找出分散在課本中的數(shù)學(xué)思想方法，加以匯總，寫進(jìn)教學(xué)計(jì)劃；在備課時把數(shù)學(xué)思想方法寫進(jìn)教案；在教學(xué)過程、教學(xué)小結(jié)中都有明確的數(shù)學(xué)思想方法。這些都為實(shí)施數(shù)學(xué)思想教學(xué)做好必要的準(zhǔn)備工作。例如，“代數(shù)式”的概念以及相關(guān)應(yīng)用就滲透著字母表示數(shù)與整體思想；“有理數(shù)”部分就蘊(yùn)涵著分類討論思想；“數(shù)軸”部分為以后的數(shù)形結(jié)合思想奠定基礎(chǔ)；“有理數(shù)運(yùn)算”“一元一次方程”等內(nèi)容都是轉(zhuǎn)化思想的好材料。

3 在具體的教學(xué)中及時滲透數(shù)學(xué)思想方法

3.1 在數(shù)學(xué)概念的形成過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)概念是從客觀現(xiàn)實(shí)中抽象出來的，所以概念教學(xué)不應(yīng)簡單下定義，應(yīng)通過展示事例、抽象本質(zhì)屬性，再推廣到一般同類事物得出，從而引導(dǎo)學(xué)生感受或領(lǐng)悟隱含于概念形成之中的數(shù)學(xué)思想方法。

例如，函數(shù)思想的萌芽和函數(shù)概念的形成過程，是人們在長期實(shí)踐中由無數(shù)具體事例體驗(yàn)到抽象思維的過程，是通過現(xiàn)象抓住本質(zhì)的過程。在弄清常量、變量的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)幾個實(shí)例：1）打電話時，繳費(fèi)金額（W）隨通話時間（t）的變化而變化；2）速度（v）一定的前提下，汽車行駛的路程（s）隨時間（t）的變化而變化；3）一天中，溫度（T）隨時間（c）的變化而變化；4）圓面積（S）隨半徑（r）的變化而變化。這些生活中的例子，不僅深化了學(xué)生對概念的理解，滲透了歸納概括的思想、用字母表示數(shù)的思想、函數(shù)思想，更重要的是激發(fā)了學(xué)生良好的學(xué)習(xí)動機(jī)和用數(shù)學(xué)的意識。

3.2 在定理、公式和法則的推導(dǎo)中有意識地再現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法

在定理、公式和法則的教學(xué)中，不過早地下結(jié)論，而是引導(dǎo)學(xué)生參與結(jié)論的探索、發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)過程，弄清每個結(jié)論的因果關(guān)系，領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)思想方法。例如，在“多邊形內(nèi)角和定理”的教學(xué)中，教師可以采用提問的方式，引領(lǐng)學(xué)生由“三角形內(nèi)角和”聯(lián)系到“四邊形內(nèi)角和”的推導(dǎo)，進(jìn)而嘗試探索“多邊形內(nèi)角和定理”，從而讓學(xué)生體驗(yàn)到轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；“圓周角定理”和“弦切角定理”的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生從“圓心在角的一邊上”這一最易研究的特殊情況入手去研究問題，再轉(zhuǎn)化到“圓心在角的內(nèi)部”和“圓心在角的外部”，讓學(xué)生感受分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想。

帶領(lǐng)學(xué)生參與探索定理的結(jié)論及證明過程，大大激發(fā)學(xué)生的求知興趣，同時也體驗(yàn)到“創(chuàng)造發(fā)明”的愉悅，數(shù)學(xué)思想在這一過程中得到有效的發(fā)展。

3.3 在數(shù)學(xué)習(xí)題的思考過程中有目的地揭示和提煉數(shù)學(xué)思想方法

習(xí)題課的教學(xué)，不僅要注意學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握運(yùn)用，而且有必要挖掘它的內(nèi)涵以及潛在的數(shù)學(xué)價值，積極引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)問題的解決過程，通過主體主動的學(xué)習(xí)活動激活知識形態(tài)的數(shù)學(xué)思想，逐步形成用數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)思維活動，探索數(shù)學(xué)問題的解決策略。例如，“圓、扇形、弓形的面積”這部分知識的習(xí)題課上（如圖3、圖4），采用的是“割補(bǔ)法”的解題技巧，而它實(shí)際上恰恰是轉(zhuǎn)化思想的生動再現(xiàn)。

3.4 在復(fù)習(xí)課中概括數(shù)學(xué)思想方法

在章節(jié)結(jié)束、單元復(fù)習(xí)或中考復(fù)習(xí)中，對知識復(fù)習(xí)的同時，將統(tǒng)帥知識的思想方法概括出來，有利于把數(shù)學(xué)概念、定理、公式、法則、數(shù)學(xué)習(xí)題和章節(jié)聯(lián)結(jié)成一個統(tǒng)一的鏈條，有利于學(xué)生克服局部知識的限制，達(dá)到對全局本質(zhì)的認(rèn)識，從而站在制高點(diǎn)上統(tǒng)攬全局。例如，教材用“軸對稱”觀點(diǎn)將等腰三角形、角平分線、線段的垂直平分線統(tǒng)一起來，互相補(bǔ)充；用“中心對稱”觀點(diǎn)將平行四邊形看成三角形繞一邊中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到的，將三角形與平行四邊形緊密聯(lián)系在一起，為解決有關(guān)三角形中線問題及四邊形轉(zhuǎn)化成三角形的問題，提供了常見的輔助線。又如，函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要概念，也是重要思想方法。用函數(shù)觀點(diǎn)審視初中代數(shù)內(nèi)容，能將代數(shù)式、方程、不等式統(tǒng)一起來；審視初中幾何內(nèi)容，能將相交線、平行線、三角形、多邊形、圓統(tǒng)一起來；審視初中數(shù)學(xué)，能將二元方程與平面直線、三角形、四邊形、圓、雙曲線、拋物線結(jié)合起來。

數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，也是充滿思想氣息的藝術(shù)。在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法，可以使學(xué)生從死氣沉沉的氛圍中走出來，欣賞到數(shù)學(xué)的思想美，按照思想的規(guī)律去選擇、去創(chuàng)造。讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的同時也欣賞數(shù)學(xué)，從數(shù)學(xué)中體驗(yàn)到無盡的思想藝術(shù)美。

（作者單位：河南省開封市鐵路中學(xué)）