一元二次方程解決實際問題的教學思考

摘　要：一元二次方程解決實際問題的教學是為了培養學生將實際問題轉化為數學問題的能力。根據問題解決的心理學原理，通過教學讓學生學會分析與解決問題，培養他們的數學意識。結合教學實例，從影響數學問題解決的認知心理因素出發，對用一元二次方程解決實際問題的教學作了有益的思考。

關鍵詞：一元二次方程；實際問題；教學思考

新課程改革要求數學教學要面向生活，要關注學生的學習體驗，樹立他們的數學意識，培養他們在實際應用中運用數學的能力。一元二次方程解應用問題的教學，是對已有知識的鞏固，也是繼續學習運用二次函數解決實際問題的基礎，十分重要。本著教師應該成為教學活動的研究者的思想，就一元二次方程解決實際問題的教學，結合認知心理學的原理，筆者談談對此問題的一些思考。

一、數學知識應用于實際問題解決的影響因素

認知心理學家和數學心理學家對應用型數學問題解決的影響因素進行了研究。他們認為解決問題的關鍵是問題的表征，而表征最重要的是進行問題類型判別。根據認知心理學的研究，影響問題解決的因素有：

1.實際問題的表述方式

認知心理學認為，理解問題模型是把問題中的文字或其他方式的表述翻譯成讀者的內部表征，這是一個信息轉換的過程。因此，文字或圖形等表述方式會對問題解決產生影響。教學中，表現為同一個問題采用不同的文字表述，學生的理解程度不一樣。這就是說，通過“審題”能否弄清題目意思不僅僅取決于學生能力，同時也取決于問題的文字表達。對于數學應用問題而言，這將直接影響學生對實際問題的認知。

2.問題圖式與問題表征

圖式是用以表征客觀事物及其關系的某種知識或心理結構、組織、框架。圖式的功能是信息選擇和整合，就數學應用題而言，其影響體現在問題歸類、問題表征及問題轉化中。圖式將對問題的表征進行整合，形成完整的表征。在這個過程中，若原有圖式能完全表征實際問題，則圖式保持不變，否則便產生認知沖突。通俗地說，學生的問題圖式就是以前解決問題的方式方法，通常是教師判定學生基礎好不好的依據之一。數學家雅諾夫斯卡婭的名言：“解題最終就是歸結為已經解決過的問題。”是對圖式在問題解決中作用的最好詮釋。

3.問題解決策略

問題解決策略指的是，能使問題產生某些變化并由此提供一定信息的處理、試驗或探索。學生的問題解決策略及其選擇是影響問題解決的重要因素，其解決效率往往與問題類型與策略的對應關系有關，其選擇則與學生的知識經驗及認知風格有關。

4.問題解決的監控

問題解決的監控屬于元認知的內容。元認知在數學實際應用問題解決中是動態的，起輔助決策作用：對反饋的價值判斷決定著是否改變問題表征或解題策略，判定問題是否超過自己能力，以及能力不及的情況下放棄還是求助等一系列問題。此外，個人的知識背景、非智力因素對數學應用題的解決也有很大影響，因篇幅關系，這些因素本文不作探討。

二、教學思考

根據影響問題解決的相關因素，筆者談談對一元二次方程解決實際問題的教學看法。為便于說明，以行程問題為例：甲、乙兩地相距8000米，張三、李四兩人同時分別從甲、乙兩地出發相向而行。張三的速度為每小時5千米，李四在遇到張三后又走了20分鐘才到達乙地，求兩人從出發到相遇所用的時間。

1.根據學生的思維特點，教會學生合理運用自己的語言表述問題

一元二次方程及其應用是初三年級的學習內容。初三學生形式邏輯思維、辯證邏輯思維、創造性思維均已得到一定發展，但存在差異性。其他思維形式如，動作思維、形象思維仍在他們的思維中發揮一定的作用。根據這些特點，教學時采用學生自己閱讀問題、教師啟發閱讀問題和借助多種思維方式閱讀問題等，以達成對實際問題的內化。由于思維發展的個體差異性，教師要照顧不同程度的學生，允許他們用自己的方式表述問題。

2.利用典型例題幫助學生獲得新圖式，利用變式幫助學生鞏固圖式

圖式在數學應用題方面的一個重要作用就是對問題進行分類解決。這就要求教學中對各類問題的典型形式進行恰當地教學，以幫助學生建立新圖式。一元二次方程用于解決實際生活，是教學面向生活的體現，其應用相當廣泛。不僅有學生熟悉的行程問題、工程問題、比率問題、濃度問題，以及在幾何、物理學中的應用。如上述問題，學生很容易識別出是行程問題，圖式識別后自然會聯系到時間、路程與速度的關系。但很快會發現與一般的行程問題不同，這就涉及問題表征的變式。若學生發現有多重時間、路程與速度的關系，則新圖式可慢慢建立。

3.教學中進行問題解決策略的訓練

通用的問題解決策略一般有算法策略和啟發式策略，啟發式策略又可分為手段目的分析法、逆向反推法、爬山法和類比法。此外還有嘗試錯誤法、整體策略等。各種策略在一元二次方程應用題求解上有自己的表現形式。如，算法策略一般是有明確程序的，在一元二次方程應用題解題時可表現為一般的解題步驟，如審題—假設—列出方程—解方程—答。策略的訓練方面，一般可以用技能教學的方式進行訓練，形成思維習慣。各種算法可以單獨使用，也可以結合使用。此時教師可以引導學生進行一題多解嘗試，這樣不但開闊了思路，也避免了策略過于單一的問題。教學中還可讓學生進行探索，如，用整體策略+逆向反推法或單獨運用手段目的分析法。策略的學習和探索有一定難度，教師要做好引導工作。解題策略可以通過教師開設專門的策略訓練課。

4.培養學生解決問題時的監控習慣

監控問題解決過程是動態的元認知，是對認知活動的反映和調節，目的在于提高問題解決的有效性和效率。如，在嘗試錯誤策略解決問題時，對錯誤的監控；在整體策略時對哪些細節該省略的認知監控。課堂教學中培養學生的認知監控習慣可以采用自我提問法，通過學生自我觀察、自我監控、自我評價的不斷訓練，養成監控習慣。也可通過相互提問法，以小組教學的形式進行訓練。教師應該進行必要的元認知知識的教學，讓學生認識到形成監控習慣的重要性，從而主動訓練，運用認知監控。如上述行程問題中，可以讓學生練習提問：20分鐘是誰走的時間？8000米這個條件有什么用？是誰走了8000米等。通過自我提問這種出聲的思維方式，培養學生自我監控的習慣。

三、小結

一元二次方程及其在解決實際問題中的應用是初中數學的重要內容，在解決實際問題中體現了數學教學生活化的傾向。在教學中，要充分體現學生的主體性，重視個別差異。通過實際問題轉化為一元二次函數的教學，從問題表征、圖式、策略和監控等方面培養學生的能力。

參考文獻：

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（作者單位　內蒙古自治區烏蘭浩特市第八中學）