草圖解題初探

　　草圖是一種畫圖形式，在數學教學中更是一種重要的解題策略。草圖策略，即根據數學信息和問題畫出相應的圖形來幫助審題、理解題意和分析數量關系，從而使復雜的問題變得簡單，抽象的問題變得直觀，最終輕松地解決實際問題。本文旨在通過對學生畫圖解題的現狀的分析，并結合筆者的教學經驗，談談草圖策略在小學高年級數學教學中的應用。
　　一、探究的背景
　　近幾年，筆者一直擔任小學高年級數學的教學。在課堂練習、課后作業和考試測驗中發現，得分率較低的題型主要有：稍微復雜且抽象的應用題、較難的空間幾何知識題以及綜合題。學生對這些類型的題目往往是一知半解，尤其是遇到那些數學信息較隱蔽、數量關系較抽象的題目時更是束手無策。
　　例如，在一次六年級上冊第四單元的測試之后，筆者通過對本班的試卷分析發現：第五大題“解決問題”中的第5小題得分率只有30%。題目是這樣的：在一個直徑為10米的花園的外邊沿鋪一條寬1米的小路，求這條小路的面積。本題的特點是：文字少，條件少，看起來簡單。但是，題中的數量10米和1米之間的關系卻較為抽象，不能直接看出它們之間的關系。因此，學生在解題時，容易出現以下錯誤：
　　3.14×（102-12）＝310.86（平方米）；10÷2＝5（米），3.14×（52-12）＝75.36（平方米）。
　　其實，只要我們根據該題的數學信息畫出相應的草圖，就可以使題中的數量關系變得清晰、明了，從而輕松解題。從圖1中便可看出：
　　求小路的面積就是求圓環的面積。內圓半徑：10÷2＝5（米）；外圓半徑：5+1＝6（米）；小路的面積：3.14×(62-52)=34.54(平方米)
　　由此可見，畫圖解題既是數形結合思想的體現，又是重要的解題策略。在小學數學教學中，畫圖策略主要表現在把抽象的數量關系轉化為適當的圖形，從圖形的直觀特征發現數量之間存在的聯系，以達到化復雜為簡單、化抽象為直觀和化隱為顯的目的，最終更輕松地解出題目。
　　值得深思的是：既然畫圖可以幫助學生順利解題，為什么大多數學生在解題時卻不愿畫圖呢？于是，筆者對學生畫圖解題的現狀進行了調查分析。
　　二、學生畫圖解題的現狀分析
　　筆者對班上的學生進行了一次問卷調查。調查內容如下：
　　①在平時解題中，如果遇到一些稍復雜的問題（既不是空間圖形題，又沒有作圖要求），有沒有嘗試過畫圖來幫助解題？
　　A.經常 B.偶爾 C.沒有
　　②你喜歡通過畫圖來解決問題嗎？為什么？
　　A.喜歡 B.不喜歡
　　喜歡的原因:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　不喜歡的原因：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　調查結果可歸納為兩點。其一，平時解題時，如果遇到稍復雜的問題（既不是空間圖形題，又沒有作圖要求），只有約11%的學生會嘗試畫圖去解題。其二，學生喜歡畫圖解決問題是因為畫圖可以使復雜的問題變得簡單，可以更清楚地分析數量之間的關系；學生不喜歡畫圖解決問題是因為覺得畫圖很麻煩，很浪費時間。
　　調查顯示，學生畫圖解題的意識較淡薄，究其原因是受到平時畫圖規范的影響，認為畫圖不但要用尺子一板一眼地畫，還要畫得準確，結果學生把圖畫得很漂亮，可是畫圖的意識卻被壓抑了。
　　其實，在教學中我們不難發現，在解決許多較為復雜的數學問題時是不需要畫規范圖的，只要能根據題意畫出簡單明了的草圖，幫助分析題中的數量關系就可以了。而且，同一道題的數量關系可以用不同的草圖來表達。草圖既可以突顯畫圖的靈活性，發揮學生的思維創造力，又可以節省時間，有效地提高解題效率。
　　因此，筆者認為，在小學階段，尤其在小學高年級數學的教學中應讓學生深刻體會到草圖解題的應用價值，培養學生畫草圖解題的習慣，讓草圖成為學生的解題策略。
　　三、草圖策略的應用
　　小學數學教材中有許多數學問題都可以通過畫草圖來解決，這就需要教師充分挖掘能體現畫草圖的教學內容，在教學中根據具體情況適當地應用草圖策略，讓學生體驗草圖策略的價值。現以人教版五、六年級的相關知識內容為例，談談草圖策略的應用。
　　1. 畫草圖解決稍復雜的數學問題——化復雜為簡單
　　在解決一些稍復雜的數學問題時，由于題中數量關系比較復雜，學生較難理解數量之間的關系。這時，教師可以引導學生畫草圖，通過數與形相結合的形式，將數量之間的關系清晰地梳理出來。
　　例如，教學例題“白色皮有20塊，比黑色皮的2倍少4塊。共有多少塊黑色皮？”筆者要求學生熟讀題目，明確題目中的條件和問題，引導學生根據題意，用自己喜歡的方式畫草圖來理清數量之間的關系。
　　結果學生所畫的草圖主要有：示意圖和線段圖。
　　生1：
　　生2：
　　生3：
　　對于學生畫出的各種草圖，教師都應給予肯定，鼓勵學生的求異思維，并讓學生通過自己所畫的圖說說自己的解題思路。通過對比不同的草圖，讓學生認識到，畫草圖來解題是一種很重要的解題策略。
　　然后，引導學生根據線段圖列出數量關系式。最后，列出方程：
　　①黑色皮的塊數×2－白色皮的塊數＝4 → 2x-20=4
　　②黑色皮的塊數×2-4＝白色皮的塊數 → 2x-4=20
　　③黑色皮的塊數×2＝白色皮的數+4 → 2x=20+4
　　④黑色皮的塊數＝(白色皮的塊數+4)÷2 → x=(20+4)÷2
　　如果學生僅從字面理解題意，那么班上只有很少的學生能準確地列出數量關系式，而且這些學生只會列一種或兩種方程；如果教師引導學生畫草圖分析題意，那么班上大部分學生能準確地列出數量關系式，并列出不同的方程來解題。
　　另外，草圖除了可以幫助分析稍復雜的方程問題，還可用于稍復雜的分數或百分數問題的分析上，均可有效地幫助學生解題（見表1）。
　　2. 畫草圖解決抽象的數學問題—— 化抽象為直觀
　　“數學廣角”的設置是教材改革的一大亮點，也是教學內容中的一個難點。許多學生都覺得“數學廣角”里的知識很抽象，難以理解，尤其是到了小學中高年級以后，中差等生學起“數學廣角”里的知識更是格外吃力。其實，在解決這些抽象的數學問題時，教師可以引導學生通過畫草圖分析題意，化抽象為直觀，最終解決問題。
　　例如，教學例題“籠子里有若干只雞和兔。從上面數，有8個頭，從下面數，有26只腳。雞和兔各有幾只？”許多學生對題中的數量關系不理解，覺得無從下手。這時，筆者引導學生畫草圖來解題：
　　①假設全部是雞：（教師在黑板上畫圖）
　　那么就有8×2=16只腳，這樣就多出26－16=10只腳。
　　師：那多出的腳是誰的，怎么辦？
　　生：多出的腳是兔子的，每只兔子少了2只腳，把腳還給兔子。
　　②把多出的腳還給兔子：（指名學生上臺畫圖）
　　可以還給10÷2=5只兔子。
　　所以籠子里有5只兔子，3只雞。
　　通過畫草圖，把形象思維與抽象思維相結合，于是，題中數量之間的抽象關系就在生動形象的草圖中變得一目了然。在課堂練習中，筆者發現絕大部分學生都能用假設法準確地解決“雞兔同籠”類的問題（見表二）。
　　3. 畫草圖解決較難的空間幾何問題——化隱為顯
　　在解決一些較難的空間幾何問題時，由于題中所給的條件較為隱蔽，學生則要一邊根據題意在頭腦中建立表象，一邊從表象中提取有效的信息解題，這樣往往會顧此失彼，導致解題失敗。這時，教師可以引導學生根據題意畫草圖，把題中隱蔽的條件充分地顯露出來，更有效地解決問題。
　　例如，教學六年級下冊教材第30頁的習題：有塊正方體的木料，它的棱長是4dm。把這塊木料加工成一個最大的圓柱。這個圓柱體的體積是多少？
　　筆者先不讓學生看圖，而讓他們思考怎樣解題。結果，有一半的學生不能較好地理解題意，無法找出求圓柱體積的條件。看到這種現象，筆者在黑板上畫出草圖：，讓學生說說從草圖中發現了什么。結果，學生恍然大悟，紛紛舉手回答：正方體的棱長其實就是圓柱的底面直徑和高。
　　通過畫草圖，學生找出了題中隱藏的條件，感受到了畫草圖策略的價值（見表3）。
　　四、草圖策略教學的建議
　　要想讓學生較好地應用草圖解題，教師在教學中應指引學生做到以下三點：
　　1. 掌握基本圖形的正規畫法，熟練地手繪草圖
　　畫草圖時，雖然隨意性較強，但有時也需要一定的畫圖功底，所以，在教學中應指導學生掌握一些基本圖形的正規畫法，在此基礎上逐漸向草圖轉移，并適當地進行拓展。
　　例如：在教學五年級下冊第三單元長方體的知識時，筆者先示范畫長方體的正規圖；當學生掌握畫法后，讓學生嘗試不用尺子較快地畫出長方體的草圖；接著在筆者的指導下，讓學生畫出長方體的兩種截面草圖（見圖2）：
　　有了以上的鋪墊，在解決類似問題時就可迎刃而解了。
　　且看這道例題：一根長3米的方體木料，切成3段，表面積增加80平方厘米，這根木料原來的體積是多少？
　　相應草圖：，由圖可突破難點80平方厘米=4個底面的面積。
　　2. 草圖力求簡潔明了，目的在于解決問題
　　畫草圖并不要求精確地把握圖的準確性，只要能表達出題中數量之間的關系，有助于解題即可。但是，據筆者觀察，有些學生在畫圖時有一種“畫得不漂亮就決不罷休”的心理，于是就把時間和精力都花在了畫圖上，而不是解題上，造成本末倒置的后果。因此，教師應要求學生在畫草圖的時候做到簡潔明了，速度快，讓學生明白畫草圖是一種解題策略，最終目的在于解決問題。
　　例如，解答前面所列舉的那道題：在一個直徑為10米的花園的外邊沿鋪一條寬1米的小路，求這條小路的面積。
　　雖然該草圖里的圓并不是正規圖，缺乏美觀，但是該圖簡潔明了，從圖中可以輕松地獲取解題所需的信息。
　　3. 分享草圖策略的成果，讓學生體驗成功
　　每一種習慣的培養都不可能是一蹴而就的，尤其是畫草圖解決問題的習慣，它必須經過學生循序漸進、反復訓練才能形成。然而，習慣的形成必須要有興趣的支撐，而興趣又來源于成功的體驗，因此，要讓學生充分地感受到畫草圖策略帶來的成功感。
　　具體做法有三個：一是在練習中，學生之間互相分享所畫的草圖，交流解題思路；二是教師應多鼓勵學生采用畫草圖的方法來解題，肯定學生所畫的不同草圖；三是在學生完成練習時，教師細心巡堂，善于在練習中發現學生畫草圖解題的閃光點，及時在課堂上展示學生所畫的草圖，并讓學生根據草圖說說自己的解題思路，共享畫草圖策略的成果。
　　小學高年級的學生正處于從解決簡單數學問題向解決復合型數學問題的發展過程中，涂涂畫畫有助于學生對問題的分析和理解。實踐表明，畫草圖是提高學生解決問題能力的一種有效策略，因此，教師要把畫草圖策略貫穿到教學中去，并持之以恒。
　　（作者單位：廣東省東莞市萬江小享小學）
　　（責任編輯：徐蘋 梁