基于小波變換的圖像閾值去噪及其效果評估

李蘊奇

（吉林省經濟信息中心，吉林長春 130061）

基于小波變換的圖像閾值去噪及其效果評估

李蘊奇

（吉林省經濟信息中心，吉林長春 130061）

研究了小波變換理論在圖像去噪方面的具體應用，并利用傳統客觀的效果評估指標對多種小波變換的去噪效果進行評估，同時將結構相似理論引入到效果評估體系中，仿真實驗表明，該方法符合主觀判斷.

圖像去噪；小波變換；效果評估

0 前言

隨著影像獲取和互聯網技術的發展，圖像已成為人們獲取信息的重要來源之一，但由于在圖像獲取、傳輸和處理中多種因素的影響導致圖像質量不高，甚至使圖像變得模糊從而掩蓋了圖像的特征.其中重要原因之一就是圖像中的噪聲.考慮到噪聲與信號在頻域內分布不同，能很好地將二者分開，所以目前研究重點是頻域內的圖像去噪算法.［1－2］

1992年，Donoho等人提出使用小波閾值收縮法對圖像去噪，取得較好的效果，但其缺陷就是必須知道噪聲強度的大小，然而這在實際應用中是難以獲取的.1997年I.M.Johnstone等人提出一種自適應小波閾值估計器，T.C.Hsung等人1999年提出一種基于奇異性檢測的去噪方法，該方法的優點是幾乎不需要噪聲的先驗信息.［3－4］S.G.Chang等人于2000年提出Bayes Shrink閾值公式，把去噪和壓縮較好地結合起來.［5］M.Miller等人提出使用反轉復小波變換法去除高斯噪聲，該方法在保留結構圖像特征，增強圖像銳度等方面作用良好，能夠防止圖像信息量退化.金海燕等人提出了一種基于Curvelet域隱馬爾可夫樹（HMT）模型的圖像去噪方法.［6］

本文將探討離散小波變換在圖像去噪中的具體應用，利用現有傳統的去噪效果評估指標和結構相似理論對其作以對比，并討論在去噪過程中參數的優化問題.

1 圖像小波分解

小波變換最初是為了解決經典的傅立葉變換不能同時進行時域與頻域分析問題的，之后該技術被廣泛應用于各個領域.［7－9］與傅里葉變換相比，小波變換具有時頻二維分辨率的特點，正是由于這一特性使小波更適合于信號的精確分析.而將多尺度分析思想引入其中后，則更有效地推動了小波變換在圖像分解與重構方面的應用.小波變換的思想是對二維圖像進行多尺度的分解.經變換后，被分解為一組具有不同方向、不同頻率的子圖像.

1989年，Mallat基于小波多分辨分析，提出了Mallat快速算法，后來將該算法推廣到二維空間［7］.設V2j（j∈Z）是空間L2（R2）的一個可分離的多分辨分析，尺度函數系｛φj，m1，m2｜j∈Z；（m1，m2）∈Z2；ε＝1，2，3｝構成L2（R2）的規范正交基.則二維圖像f（x，y）可表示為：

圖像的小波分解結構如圖1所示.

經一層小波變換后，圖像被分解成4個頻帶：水平高頻、垂直高頻、對角線高頻和低頻.3個高頻子帶捕獲了圖像的突變信號（如邊緣、紋理等），而低頻子帶包含了圖像的細節信息.如果需要進一步進行小波分解，可以在低頻子帶中繼續進行.醫學圖像經過Haar小波的三層分解后，如圖2所示.

圖1 圖像的小波變換頻域分解

圖2 醫學圖像Haar小波2層分解結構

2 去噪問題的數學描述

一幅含有噪聲的圖像可以表示為：

其中：v（i）是圖像在位置i處的觀測值，u（i）是在位置i處像素的真實值，n（i）是i處的噪音.去噪的目的在于去除n（i）的影響，使v（i）＝u（i）（見文獻［1］）.小波去噪本質上是一個函數的逼近問題，通過對原圖像的最佳逼近，從而有效地區分開原信息u（i）和噪聲信息n（i），達到去噪效果.或者更進一步地說，基于小波分解的圖像去噪實質就是尋找從原信號空間到小波函數空間的最佳映射關系.

去噪算法需要在降低圖像噪聲的同時又能很好地保留圖像細節.傳統的去噪算法雖然能夠去除噪聲，但圖像的部分細節往往亦被消除.而將小波分解引入圖像去噪算法既能達到較好地去噪效果，也能保持圖像的細節信息，其原因在于其良好的多尺度性，能有效地將噪聲與原始信號分離.

3 小波去噪方法

目前，應用小波變換對小波去噪的研究仍然很活躍，盡管算法差異較大，但其框架基本相同，可將小波去噪分為3個步驟：小波分解、小波分析和小波重構.

小波分解部分主要是選取合適的小波基和確定分解層數.小波分析階段研究如何通過小波系數的計算，將噪聲信息去除，這是不同小波算法的區分所在.小波重構則是將處理過后的小波系數映射回空域內.

3.1 小波分解

3.1.1 小波基的選取

在構造小波基時，應使其具備如下性質：正交性、正則性、緊支性和對稱性.

定義1（正交性） 若函數系｛f（x－k）｝k∈Z滿足如下條件：則稱該函數系是規范正交系.

定義2（正則性） 正則性反映了函數的光滑程度.一般的，正則性與函數的光滑性成正比.在運算過程中，用利普希茨指數來表征正則性.利普希茨指數表征的是函數f與局部多項式的相似程度.

小波基的正則性對小波分解十分重要，其原因在于具有正則性的小波重構更穩定.為了得到較好的重構信號，一般都要求小波基具有正則性.

定義3（緊支性） 若函數f（x）除在某一區間（如［a，b］）上，函數值恒等于0，則可稱f是緊支的，并稱該區間（［a，b］）為f支集.顯然，小波的支集區間越小，局部化能力越強.因此，當將小波變換用于捕獲突變信號時，需要小波基具有較好的緊支性.

定義4（對稱性） 當且僅當函數f（x）滿足f（a＋x）＝f（a－x）時，稱f（x）具有對稱性；同理，當且僅當函數f（x）滿足f（a＋x）＝－f（a－x）時，稱f（x）具有反對稱性.

目前，小波基有Haar，db族，sym族等多達數十種.合適的小波基，使圖像能量分布在少數的幾個基底上，不同頻率的信息相對獨立地分布在不同小波層次上，進而使去噪過程中既能有效去除噪聲，又能保護圖像的細節信息.

3.1.2 分解尺度

分解尺度的選擇，也是影響小波去噪效果的重要環節之一.尺度參數選擇的準則是：（1）保證圖像噪聲得到有效去除，（2）較小的時間和空間復雜度.因此，分解尺度既不能太大，也不能太小.圖3為圖2（a）經兩層小波分解后各層的信息構成的分布圖.

圖3 經過Haar兩層小波分解的系數直方圖

3.2 小波閾值去噪法

小波閾值去噪法是小波去噪方法中最早被提出的，該方法因算法簡單、效果好，而被廣泛應用.小波閾值去噪法大致可分為兩種：硬閾值法和軟閾值法.二者的差異在于去噪函數的不同.

3.2.1 去噪函數

對于圖像f，其閾值為λ，則硬、軟閾值函數可分別表示為：

硬閾值法可較好地保留圖像邊緣、紋理、拐角等特征信息，但可能會出現振鈴效應，而經軟閾值法處理后的圖像相對硬閾值法要平滑，但其缺陷在于會造成邊緣模糊、拐角丟失等情況的發生.

3.2.2 閾值的選取

閾值的選取是小波閾值去噪模型的另一個重要的研究內容，其原因在于閾值是否合適也決定了去噪性能.若選取的閾值較小，雖然保留圖像的細節信息更完整，但噪聲也同時被保留下來；若選取閾值較大，則會丟失圖像中的高頻信息.在無法將噪聲和圖像原有高頻信息有效分開的前提下，閾值的選取方法應取決于圖像本身的特點和對圖像質量的實際需求.如果圖像本身噪音較多，則應使用較大的閾值；否則，使用較小的閾值.如系統對圖像噪聲魯棒性差，則應選取較大閾值；系統對圖像細節信息要求高，則盡量降低閾值.目前，存在下面的閾值選取算法.

設含噪聲圖像f（x）經小波分解得到N個小波系數，噪聲信號的標準差為σ.則各種閾值算法計算公式如下：

4 效果評估

圖像去噪的效果評估不僅可以評估各種去噪算法的優劣，同時可為算法優化提供依據.目前，圖像去噪算法的效果評估方法可分為主觀法與客觀法兩種.主觀法指由人眼直接觀察圖像去噪效果，其優點在于評估結果合理，準確.它可以判斷去噪后圖像的清晰度是否降低，圖像邊緣是否完整、清晰等，可直觀地辨識圖像在信息結構、清晰度等方面的差異，缺點是只能用于判別得到明顯改善的圖像，精確度不高；而且，無法用于參數優化.而客觀效果評估方法恰好解決上述主觀評估指標的不足.

目前，客觀效果評估指標主要是均方根誤差MSE（Mean Square Error）和峰值信噪比PSNR（Peak Signal－Noise Ratio），對于一個大小為m×n，量級為256的一幅圖像f及其對應的去噪重建圖像f′，MSE和PSNR定義如下：

這里，MSE的物理意義是圖像f′中所含噪音的能量.MSE數值越大，說明f′內的噪聲越多，去噪效果越不好.PSNR與MSE成反比，描述了去噪重構圖像f′內信號與噪音之間的比例關系：數值越大，去噪效果越好.

雖然MSE和PSNR能夠對圖像去噪效果給出定性的衡量，但它們最大的缺陷在于無法真實反映人眼的視覺感覺.兩者不能勝任圖像去噪效果評估的原因在于：一方面，兩項指標屬于全局統計指標范疇，而人眼對局部細節差異更敏感；其次，兩項指標無法對去噪過程中圖像形狀紋理信息進行完整性的考核，因為圖像去除噪聲不能以犧牲圖像信息為代價.王舟等人提出了結構相似理論，該理論符合人類視覺系統（Human Visual System，HVS）對圖像信息的感知與理解.［10］該模型綜合考慮去噪重構圖像與參考圖像的亮度相似性、對比度相似性和結構相似度.

分別定義兩幅圖像信號f，f′的亮度相似性、對比度相似性和結構相似度如下：

其中：μf和μf′分別為圖像f和f′的像素平均值；σf和σf′分別為兩幅圖像的均方差；σff′為兩幅圖像的協方差；C1，C2，C3為接近于0的常數，其意義在于避免出現分母為0的情況.

綜合考慮這三方面，王舟等人給出圖像質量為：

其中：α，β，γ分別為亮度相似性、對比度相似性和結構相似度在最終評估效果中所占的比重.一般全部設定為1.最終，SSIM（f′，f）取值范圍為［－1，1］.數值越大，表明去噪重構后的圖像與參考圖像越相似，即去噪效果越好.

5 實驗結果

圖4 原圖像和加高斯白噪聲圖像

利用主觀效果評估法和客觀效果評估法（MSE，PSNR，SSIM）對小波去噪方法進行比較.測試圖像通過在原圖像中加入高斯白噪聲（均值為0，標準差為0.01）獲得，如圖4所示.首先，對小波基對降噪效果的影響進行評判；其次，對同一小波下，比較分解尺度對降噪效果的影響.

5.1 不同小波基降噪效果比較

對小波基對圖像去噪的影響進行評估，實驗中小波基包括Haar，db5，sym2和dmey.其他參數均統一設定：小波解尺度為3，第1～3層小波系數的閾值選取都是Penalize medium，使用硬閾值法.去噪效果如圖5所示.

對比圖5與圖4，4種小波去噪方法都能將圖像中大部分噪聲去除（黑色部分變得比較清晰），但是4幅影像在邊界處都存在不同程度的偽信息.其中用db5和dmey小波基的去噪方法出現的偽信息較多，但是圖5（d）軟組織最清晰，原因在于所選的小波基能將噪聲與有效信息較好地分開.

圖5 小波基對去噪效果的影響

對上面4幅圖像進行質量評估，MSE，PSNR和SSIM的評估結果如圖6所示.其中MSE的評估結果越低，圖像的去噪效果越好.而其他兩者與之相反，評估結果越高越好.

顯然，三個客觀評估指標給出的質量排序是一致的，依次是dmey，Haar，db5，Sym2.MSE和PSNR側重于衡量圖像噪聲的多少，SSIM則會同時考察去噪圖像對原始圖像信息、結構的保存程度.以dmey為小波基的去噪模型相對于其他模型在去噪和保留信息方面都表現優秀.

圖6 三種客觀指標評估結果

5.2 不同分解尺度降噪效果比較

關于分解尺度對圖像去噪的影響進行評估，實驗中小波基設定為Haar，其他參數均統一設定，依然使用軟閾值法.去噪效果如圖7所示.

圖7 分解層數對去噪效果的影響

通過肉眼觀察發現，圖7（a）出現模糊的現象，圖7（c）和圖7（d）出現明顯的塊狀信息.究其原因在于：圖7（a）對應的小波分解尺度過小，已退化為單尺度方法，沒能將高頻信息和低頻信息較好地分離；而圖7（c）和圖7（d）分解尺度偏大，出現較多偽信息，即塊狀信息.相比之下，圖7（b）質量最好，既能將大部分噪聲去除，提高了清晰度；又能較完整地保留圖像的細節信息.

同樣，利用MSE，PSNR和SSIM三項指標對上述4幅圖像進行去噪效果評估.其評估結果如圖8所示.

圖8 特定圖像的去噪效果評估

三項指標評估結果一致，均表明圖像尺度為4層時，去噪效果最好；次之是2層；去噪效果最差的是6層和8層.仿真實驗表明：在小波去噪過程中，分解層數取［3，5］時，去噪效果最優.

6 結論

本文介紹了利用小波分解去除圖像噪聲方法的一般步驟，并給出了三種客觀質量評估指標.實驗中用主觀法，MSE，PSNR和SSIM分別對小波基、分解尺度對去噪效果的影響進行衡量，并闡明其原因.結果表明，分解尺度的選取應適中，選取過小，多分辨效果不明顯；取值過大，則出現偽信息.

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Image threshold de－noising based on wavelet transform and performance evaluation

LI Yun－qi

（Economic Information Center of Jilin Province，Changchun 130061，China）

Image de－noising is a basic problem in the field of image processing，and an important content in image enhancement.The wavelet de－noising is an internationally recognized focus in the field of image de－noising research.This paper research on the application of theory of wavelet transform adopted in de－noising，traditional objective indicators of evaluation are utilized to measure the effect of various wavelet transforms.Meanwhile，the theory of structure similarity is introduced into the assessment system，and simulation results show that the metric is consistent with the subjective judgments.

image de－noising；wavelet transform；performance evaluation

TP 391

520·60

A

1000－1832（2012）01－0060－07

2010－06－21

國家自然科學基金資助項目（40972059）.

李蘊奇（1976—），女，碩士，高級工程師，主要從事信號處理、分布式數據庫應用研究.

陶 理）