狀態觀測器法實現改進的超混沌Lü系統同步

鄭文娜，欒紅霞，呂 晶，岳麗娟

（東北師范大學物理學院，吉林長春 130024）

狀態觀測器法實現改進的超混沌Lü系統同步

鄭文娜，欒紅霞，呂 晶，岳麗娟

（東北師范大學物理學院，吉林長春 130024）

針對改進的超混沌Lü系統，采用狀態觀測器同步方法，通過設計合適的狀態觀測器，實現了對改進的超混沌Lü系統的同步控制.并設計出簡單的同步實現電路.實驗結果與理論分析及數值模擬結果相符合，證明了該同步方法的有效性.

改進的超混沌Lü系統；超混沌同步；狀態觀測器；電路實驗

混沌同步一直是混沌研究領域的一個熱點問題.近年來，人們逐漸將目光轉移到超混沌系統的同步研究上.與低維系統相比，具有2個及2個以上正的Lyapunov指數的高維超混沌系統具有更加復雜的動力學行為［1－3］，將其應用于保密通訊及信息處理等方面，具有更高的保密性，它的研究范圍已經擴展到激光物理、化學反應、生物醫學、電子線路和保密通信等各個領域，因此，研究超混沌系統的同步具有更重要的價值［4－7］.

隨著混沌同步研究的不斷深入，人們提出了多種方法來實現混沌系統的同步，如驅動－響應同步法、線性反饋同步法、自適應同步法、脈沖同步法、狀態觀測器同步法等［8－14］.但是大多數的混沌同步研究都只是進行了理論分析和數值模擬，本文采用狀態觀測器同步法，通過設計合適的狀態觀測器，實現了對改進的超混沌Lü系統的同步控制，該方法不需要計算同步的條件Lyapunov指數，且同步時間較短.設計并搭建了同步實驗電路，實驗結果與理論分析及數值模擬的結果基本一致，從而驗證了該同步方法的有效性.

1 改進的超混沌Lü系統及其電路實現

最近，申敏等人在三維Lü混沌系統的基礎上提出了一個新的超混沌系統，這個改進的超混沌Lü系統的數學模型如下［15］：

系統（1）中：x1，x2，x3和x4為系統的狀態變量；a，b，c和d為系統參數.當參數a＝35，b＝3，c＝12，d＝35時，系統的Lyapunov指數為（0.537 9，0.233 0，0，－38.276 9），該系統處于超混沌狀態.為了能夠有效地進行電路實驗，將系統（1）中的狀態變量x4壓縮10倍，則相應的系統方程變為：

根據系統（2），設計出改進的超混沌Lü系統的電路，如圖1所示，電路中運放采用LM741，乘法器采用AD534J，電源電壓為±12 V，其狀態方程為：

電路中的元件參數：R1＝R2＝2.9 kΩ，R4＝8.33 kΩ，R5＝R7＝1 kΩ，R6＝33.3 kΩ，R8＝28.6 kΩ，R3＝R9＝R10＝R11＝R12＝R14＝R15＝R16＝10 kΩ，C1＝C2＝C3＝C4＝0.01μF，搭建實驗電路，利用示波器觀察到的超混沌吸引子如圖2所示.

圖1 改進的超混沌Lü系統的電路圖

圖2 改進的超混沌Lü系統的吸引子相圖

2 狀態觀測器實現改進的超混沌Lü系統同步

2.1 理論分析

基于狀態觀測器原理，非線性混沌系統的結構為：

其中：A∈Rn×n；B∈Rn×m；D為待求的常數矩陣；AX為系統的線性部分；B F（X）為非線性部分［16］.由改進的超混沌Lü系統（4）構造的驅動系統為：

選取合適的B和D，使｜A－BD｜的特征值均具有負實部，則誤差系統漸進穩定在零點，從而實現了驅動系統和響應系統的同步.

在滿足（8）式的條件下，選取d1＝0，d2＝20，d3＝0，d4＝5，驅動系統（5）的初值x1（0）＝1，x2（0）＝－1，x3（0）＝1，x4（0）＝0，響應系統（9）的初值y1（0）＝3，y2（0）＝2，y3（0）＝0，y4（0）＝1，同步誤差曲線如圖3所示.可以看出，當t分別接近1.2，1，2.5和2 s時，誤差e1（t），e2（t），e3（t）和e4（t）已分別穩定在零點，即驅動系統（5）與響應系統（9）達到了同步.

圖3 驅動系統（5）和響應系統（9）的同步誤差曲線圖

圖4 驅動系統（5）變量x2和響應系統（9）變量y2同步相圖

2.2 電路實驗研究

混沌同步電路的設計比較復雜，我們結合狀態觀測器的理論分析，充分利用了驅動系統中的非線性項，并將同步電路中的比例、積分電路合二為一，設計出了改進的超混沌Lü系統同步電路，用示波器觀察到兩系統達到了同步，其中驅動系統（5）變量x2和響應系統（9）變量y2的同步結果如圖4所示，其超混沌電路如圖5所示，其中虛線框內是響應系統電路，元件參數：R17＝R18＝2.9 kΩ，R19＝10 kΩ，R20＝8.33 kΩ，R22＝33.3 kΩ，R21＝R23＝1 kΩ，R24＝28.6 kΩ，R33＝R34＝5 kΩ，R35＝R36＝20 kΩ，其他電阻值為10 kΩ，C5＝C6＝C7＝C8＝0.01μF.由圖4可見，利用狀態觀測器方法較好地實現了驅動系統和響應系統的同步.

圖5 驅動系統（5）和響應系統（9）同步的電路圖

3 結論

本文研究了改進的超混沌Lü系統的狀態觀測器同步問題，利用狀態觀測器同步法，通過設計合適的狀態觀測器，實現了對改進的超混沌Lü系統的同步控制，該方法不需要計算同步的條件Lyapunov指數，且同步時間較短.同時對混沌同步電路的設計問題進行了研究，設計出結構簡單且操作方便的同步實驗電路，通過示波器觀察到的實驗結果與理論分析及數值模擬的結果基本一致，從而進一步驗證了該同步方法的有效性.

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Synchronization of improved hyperchaotic Lüsystem using the state observer method

ZHENG Wen－na，LUAN Hong－xia，LüJing，YUE Li－juan

（School of Physics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China）

The method of state observer synchronization is applied to the improved hyperchaotic Lü system.By designing a suitable state observer，the synchronization of improved hyperchaotic Lüsystem is realized.We design the simple synchronization circuit.The experimental results coincide with theoretical analysis and numerical value simulation.The effectiveness of the proposed method is demonstrated.

improved hyperchaotic Lüsystem；hyperchaotic synchronization；state observer；circuit experiment

O 415

120·20

A

1000－1832（2012）01－0072－05

2011－10－25

國家自然科學基金資助項目（10847110）；吉林省自然科學基金資助項目（201115008）.

鄭文娜（1983—），女，碩士研究生；通訊作者：岳麗娟（1963—），女，副教授，主要從事非線性混沌控制與同步研究.

石紹慶）