具有非線性擾動運動特性的高超聲速飛行器動態特性分析方法

方 群，王 樂，孫 沖

（西北工業大學 航天學院，西安710072）

美國空軍于2010年成功試驗了X－37B“軌道試驗飛行器”（Orbit Test Vehicle，OTV）和 X－51A 高超聲速飛行器，這意味著能提供即時全球打擊（Prompt Global Strike，PGS）能力的高超聲速飛行器將越來越受到青睞.面對高超聲速飛行器的高動態飛行環境，尋求合理的動態特性分析方法至關重要.CHAVEZ和 SCHMIDT[1～3]提出了基于牛頓激波理論計算氣動力的通用高超聲速飛行器的動力學分析方法，并以此為基礎給出了飛行器穩定矩陣和控制矩陣的計算方法，不過其動態特性分析中仍采用小擾動線性化理論的分析方法.TARPLEY[4]針對未組合發動機的楔形高超聲速飛行器提出了高超聲速活塞理論，將線性化活塞理論推廣到高超聲速飛行器的動態特性分析中.目前對于常規飛行器動態特性分析的線性化方法，由于在建立模型時，為了得到線性的擾動運動模型，從而以小擾動為前提，忽略了參數偏差的高階項，這造成了高動態環境下擾動運動模型的不準確，因此對于解決高動態飛行環境下的飛行器穩定性、操縱性分析和穩定域判定等問題，目前現有的方法并不能得到令人滿意的結果.由公開發表的資料發現，現階段對高超聲速飛行器動態特性的研究中，沒有特別針對高動態飛行環境的分析方法.針對高超聲速飛行器在高動態環境下的動態特性分析問題，本文提出了含有參數偏差二次高階項的非線性擾動運動模型的建立方法，并借鑒常微分方程理論在生態、電力、生物工程等領域非線性系統的應用，給出了非線性縱向擾動運動穩定性分析方法；通過 Matlab/Simulink平臺的仿真，與小動態飛行環境下一階線性化處理方法的分析結果進行對比，驗證了該方法的可行性.

1 帶有高階項的非線性運動建模

1.1 非線性擾動運動建模方法

不失一般性，根據文獻[5]可以得到飛行器偏量微分方程的一般形式為

將式（1）中的函數 Δf在x10，x20，…，xn0點附近展開泰勒級數，則有：

式中，R（ΔX）為參數偏差三階以上高次項.

同理，可得到式（1）中的函數ΔF的表達式為

式中，AF，BF表達式與式（2）中Af，Bf類似.將 Δf，ΔF代入式（1），保留二次高階項，并寫成矩陣的形式有：

1.2 高超聲速飛行器縱向擾動模型

假設推力方向沿發動機軸線，與機身軸線重合；v，γ，θ，q，α，h分別為高超聲速飛行器的飛行速度、彈道偏角、俯仰角、飛行器繞本體坐標系Ox1y1z1中的Oz1軸的旋轉角速度、迎角以及飛行高度.高超聲速飛行器利用式（4）可以建立縱向擾動方程：

式中，FT，FD，FL，My，Iyy分別為飛行器所受到的推力、阻力、升力、縱向力矩系數和轉動慣量.

縱向基準模型可以按照其受力情況在速度坐標系上得到：

式中，θ為俯仰角；A1，A2，A3為式（2）中Af的展開項，有Af＝（A1A2A3）.

公式的各項含義見參考文獻[6].對于式（6）中第3個式子，在一般情況下，要比大得多，兩式相比可以忽略不計[4].同時，為了明顯列出 Δα的表達式，利用角度幾何關系Δα＝Δθ－Δγ，最后整理得到狀態變量 ΔX＝（ΔvΔγΔαΔθ）T的矩陣形式：

式中，

B″4＝O4×4，各系數矩陣中，一次動力系數表達式見參考文獻[5]，二次動力系數的表達式見表1.

表1 各二次項動力系數表達式

2 基于常微分方程理論的非線性擾動運動模態動態特性分析方法

針對包含運動參數偏差二次高階項的非線性擾動運動模型，本文借鑒常微分方程在具有非線性模型特征的生態、電力、生物工程領域動態特性分析問題中的應用，提出高超聲速飛行器的非線性擾動運動模態的動態特性分析方法.

2.1 Hopf分支理論

當受到擾動時，動力系統會演變成與之“相鄰”的動力系統，這時該動力系統所具有的拓撲結構的性質就有可能發生改變.若系統的拓撲結構不變，則微分方程的結構式是穩定的；否則是不穩定的.如果其結構不穩定，則適當的擾動都會引起系統的拓撲結構發生突然變化，數學上稱這種變化為分支.一般來說，含參數λ的n維非線性系統微分方程表示為

如果參量λ在某一值λc鄰近微小變化引起解的性質發生突變，這樣的解是結構不穩定的，產生分支現象，此時，λ稱為分岔參數.在以參量λc為坐標的軸上，λ＝λc稱為分岔點；不引起分岔的點都成為常點.在分岔點的附近，參量值的微小變化足以引起解發生本質的變化（拓撲性質），這樣的解是結構不穩定的，可以說分岔意味著方程結構不穩定.當參數λ＜λc時，定點是穩定焦點或者穩定結點；當λ＞λc時，定點變為不穩定定點并出現極限環.極限環是在參數變化時非線性系統解域內存在的孤立閉環.當非線性系統方程的解隨自變量的變化無窮趨近極限環時，該極限環成為穩定極限環；當非線性系統的解隨自變量的變化遠離極限環時，該極限環稱為不穩定極限環.

設系統（8）滿足：

①h（O，λ）＝0，且（O，0）為系統的非雙曲平衡點；

②h（X，λ）在（O，0）的鄰域內有L＋2階連續偏導數（L≥2）；

③G（λ）＝DxH（O，λ）（DxH（O，λ）為非線性方程H（O，λ）的非線性項），在λ＝λc附近有一對復特征值ρ（λ）±iσ（λ），且ρ（λc）＝0，ρ′（λc）≠0，σ（λc）＞0；

④G（λc）的其余特征根都有負實部.

則該系統產生極限環.

2.2 中心流型理論及計算

非線性方程的解結構是隨著方程所含的參量變化的.類似于計算氣動參數時所做的風洞試驗，將飛行器固定，計算風洞氣流對于飛行器產生的氣動參數；當研究參量對于非線性方程形態的影響時，常將參量值看作一個不動點，研究方程解的形態在此不動點隨時間的變化.非線性方程解的變化稱為流型，非線性方程在不動點處的解可分為穩定流型、不穩定流型和中心流型.解為中心流型情況可以看做是包含非線性方程解的閉環的環形筒狀解域.方程的解隨著時間的變化不會發散出該解域也不會收斂于閉環.

中心流型方法的基本思想是，對于高階非線性方程，在平衡點的鄰域內把含有參量的系統展開成相關的冪級數形式，以降低微分方程系統的位數，從而簡化微分方程，最終判定微分方程在特定參量下解的穩定性.

在系統（8）平衡點的某個鄰域內，給定非奇異線性變化矩陣T，將該系統的雅克比矩陣A＝Dxf（0）化為對角形式，即：

式中，B和C分別為nc×nc和ns×ns矩陣，它們的特征值分別為零實部和負實部.

令X＝TY，Y＝（UV）T，U∈Ec，V∈Es；Ec，Es分別為中心子空間和穩定子空間，則有：

根據參考文獻[7]中心流形定理，中心流形在該平衡點鄰域內表示為

將式（11）代入式（10）第二式，并利用求導的鏈式法則，有：

式中，Dxh（U）為非線性方程h（U）的線性項，再利用式（10）第一式，整理后得到h＊（U）的微分方程為

最后得到中心流形上的方程：

式（12）就是系統（8）在中心流形上的方程，也是該系統降維后的方程，也叫分支方程.

2.3 常微分方程理論在非線性擾動運動特性分析中的應用框圖

圖1 常微分方程分支理論的應用框圖

3 仿真分析

針對高超聲速飛行器自由擾動運動的穩定性問題，對不同特征點分別采用常規的小擾動的線性化方法和本文所提出的常微分方程理論方法進行結果對比分析.

3.1 仿真條件

分別選取圖2中航跡突變點N和等高巡航段中的R為特性點，在不同的靜穩定系數下，討論常規的線性化模型和本文所給出的二階模型的縱向擾動各模態的動態穩定性.表2為所選定的平衡點參數，表中，H為高度，δ為舵偏角.

圖2 高超聲速航跡規劃示意圖

表2 高超聲速飛行器飛行不同特征點的狀態參數

3.2 仿真結果

在小動態擾動特性點R處進行自由擾動各模態的動穩定性分析，計算近似線性系統矩陣A的特征值為－4.084 5，0.142 6，－0.001 675±0.013 08i.由常規線性化一階模型和本文所給的非線性二階模型得到的縱向擾動運動各參數偏差隨時間的變化曲線見圖3和圖4，2種方法的誤差曲線見圖5.

在大動態特性點N處進行自由擾動各模的動穩定性分析，計算近似線性系統系數矩陣A的特征值為3.936 14，±0.015 296 200i，－0.009 953 015.在該不動點上，由常規一階線性化模型得到各參數偏差隨時間的變化曲線見圖6，可以看出此點處是不穩定的.二階非線性模型的解出現穩定的極限環如圖7所示.線性化模型的飛行參數擾動隨時間的變化見圖8，圖9為在N點鄰域的hopf分支圖.

圖3 點R處一階線性化系統下固有擾動性態

圖4 點R處二次高階項下的固有擾動性態

圖5 2種處理方法下各模態的誤差

圖6 點N處一階線性化系統下固有擾動性態

圖7 點N處極限環

圖8 點N處一階線性化系統擾動量隨時間的變化圖

圖9 點N處Δθ鄰域內的hopf分支

3.3 仿真結果分析

由圖3～圖5可以看出，在R點處，常規的基于線性化模型的分析方法與保留擾動參數偏差二次項的非線性分析方法的誤差在10－3的量級，這說明在小動態環境下，采用常規的基于線性化的穩定性分析方法可以對飛行器穩定性進行準確的分析；由特征根的性質知高超聲速飛行器縱向模型的短周期模態是不穩定的；長周期模態是接近中立穩定的.

對比圖6、圖7和圖8、圖9可以看出，在大動態環境下，由常規近似線性系統分析方法給出了高超聲速飛行器不穩定的結論；而由本文提出的基于微分方程理論的穩定性分析方法得到了穩定的hopf分支，這足以說明，在高動態環境下由常規的線性化建模方法建立的模型已經不能準確地反映擾動運動的特性，必須建立含有參數偏差高次項的非線性模型.

4 結束語

本文首先給出了保留二階高次項下非線性擾動運動的建模方法；討論了在不同特性點下，高超聲速飛行器縱向擾動系統在平衡點的穩定性；通過對已有的小擾動線性化處理方法的結果進行對比，得到以下結論：

①在小動態環境下，本文所給出的方法與常規的小擾動線性化處理方法結果一致，因此采用小擾動線性化處理方法進行動態特性分析是可行的；

②在大動態環境下，由常規的線性化建模方法建立的模型不能準確地反映擾動運動的特性，必須建立含有參數偏差高次項的非線性模型，本文給出了含有參數偏差二階高次項的非線性擾動建模方法；

③在建立非線性擾動模型的基礎上，給出了基于常微分方程理論的非線性擾動運動動態特性分析方法.

本文的研究結果雖然可以為諸如高超聲速這類具有高動態、大范圍機動、復雜的非線性動力學特性的飛行器的動態特性分析提供一定參考，但這僅僅只是一個初步的探討和起步，還有很多值得進一步深入研究的問題，例如非線性擾動運動的穩定域問題，非線性強迫擾動的分析問題及在分支情況下其混沌的控制問題等.

[1]CHAVEZ F R，SCHMIDT D K.Dynamics of hypersonic flight vehicles exhibiting significant aeroelastic and aeroproplusive interactions，AIAA93－3763[R].1993.

[2]CHAVEZ F R，SCHMIDT D K.Analytical aeropropulsive/aeroelastic hypersonic－vehicle model with dynamic analysis[J].Journal of GCD，1994，17（6）：1 308－1 319.

[3]TARPLEY C.The optimization of engine－integrated hypersonic waveriders with steady state flight and static margin constraints[D].USA：University of Maryland，1995.

[4]李新國，方群.有翼導彈飛行動力學[M].西安：西北工業大出版，2005.

[5]VADDIL S S，SENGUPTA P.Controller design for hypersonic vehicles accommodating non－linear state and control constraints，AIAA 2009－6286[R].2009.

[6]BOLENDER M A，DOMAN D B.A non－linear model for the longitudinal dynamics of a hypersonic air－breathing vehicle，AIAA 2005－6255[R].2005.

[7]ANDERSON D.Modern compressible flow[M].3rd ed.New York：McGraw Hill Higher Education，2002.