一類帶PML光波導中的共軛特征算子構造

郭 瓊，朱燕芝，馬云娟

（杭州師范大學理學院，浙江 杭州 310036）

一類帶PML光波導中的共軛特征算子構造

郭 瓊，朱燕芝，馬云娟

（杭州師范大學理學院，浙江 杭州 310036）

將無界三層帶有不平坦界面的光波導經坐標變換和完美匹配層截斷近似轉化為有界且帶有平坦界面的光波導，利用復Helmhotz方程求解波的傳播計算問題，推導出了該復偏微分方程的共軛特征函數所滿足的方程，并論證了方程的特征函數與共軛特征函數正交之性質，同時給出局部基下坐標計算的簡便公式.

完美匹配層；共軛特征函數；Helmholtz方程；局部坐標變換；橫電波導

光波導在介質中的傳播，在數學上歸結為著名的Helmholtz方程.當傳播區域或求解范圍有界時，Helmholtz方程的特征函數具有加權正交的性質，因此可以采用步進算法快速求解Helmholtz方程，并已取得了很好的數值解.然而，當考慮傳播區域或求解范圍無界時，如無限深的海洋、上下無界的光傳播域，通常的數值方法對此類問題的處理嚴重失效.

曾有人構造了精確的邊界條件，將無界區域問題化為有界問題區域問題，但此條件涉及到廣義積分，導致數值計算上的困難.值得慶幸的是1994年引進了完美匹配層，將無界求解區域截斷、近似轉化為一個有界的區域[1－4]，而實的Helmholtz方程轉化為一個復偏微分方程，這在數學上相當于對Helmholtz方程作了一個復伸展變換.針對上述復偏微分方程，關于平坦界而的情形已推導出了與該方程的特征函數系正交的共軛特征函數系所滿足的方程[5－8]，并給出了特征函數系及其共軛特征函數系的解析表達式，實現了不同局部基下的坐標轉換和方程變換的快速計算[9－10].

本文進一步將研究推廣到彎曲界面情形，研究三層帶彎曲界面的無界光波導中共軛特征算子構造，爭取得到更一般的結果.

1 特征方程及其性質

光波導的波動方程通常可以簡化為Helmholtz方程：

其中

設折射率n（x）為分段函數：

TE情形下方程可簡化為：

其中：h1（z），h2（z）是彎曲的內界面，N表示界面的法向量.由于現有的步進算法不適合彎曲界面情形，故首先需引入正交變換：＝g（z，x）＝f（z，x）.

式（2）定義在無界區域中，在這樣的前提下，如果采用數值計算，則離散的區域是無限的.此時需要增加一定的條件才能將無界的區域轉化為有界的區域來求解，因此可引入完美匹配層做為吸收介質，使得當波由區域內通過界面傳到完美匹配層時，一般不會發生反射.PML的引入，相當于作了一個復伸展坐標

本文需要解決的問題中有兩個彎曲界面，這種彎曲的界面有兩種處理方式.一種是采用折線法近似代替原先的彎曲界面，這樣在每一個水平防線的小區間中，彎曲界面將被近似看成直線界面，因此就可以將原來整個彎曲界面求解問題轉化為一系列平坦小區間上的求解問題.此方法易實現，但同時也帶來了一對矛盾，當劃分不是非常小的時候，誤差將會很大，而如果想加密分點則會讓問題的計算量變得非常大.另一種方法就是通過坐標變換，將帶有彎曲界面的區域變換成平坦的界面.典型的坐標變換法有3種：全局變換、局部非正交變換和局部正交變換.經過比較發現，采用局部正交變換可以使界面條件變得相對容易一些，同時新舊坐標之間可以通過牛頓迭代來實現.

下面討論局部正交變換.

（i）在下包層即 H1≤x≤h1（z）區域內，取局部坐標變換[6]：

2 特征問題

其中αi，βi，γi，i＝1，2，3，4，見附錄.

其界面條件為

3 共軛特征算子的構造

4 結 論

從Helmholtz方程出發，引入局部正交部變換和方程變換，將Helmholtz方程0轉化為，從而實現彎曲界面的平坦化.再引入PML將無界區域上的波傳播問題轉化為有界區域上的波傳播問題.并構造了算子L的共扼算子M，論證了算子L的特征函數與共軛算子M的特征函數具有正交性質.此方法在傳播計算中的更深入應用有待進一步開發.

[1]Lassas M，Helsinki E S.On the existence and convergence of the solution of PML equations[J].Computing，1998，60（3）：229-241.

[2]Turkel E，Yefet A.Absorbing PML boundary layers for wave-like equations[J].Appl Numer Math，1998，27（4）：533-557.

[3]Berenger J P.A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves[J].J Comp Physics，1994，114（2）：185-200.

[4]Rogier H，Zutter D.Berenger and leaky modes in microstrip substrates terminated by aperfectly matched layer[J].IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques，2001，49（4）：712-715.

[5]Lu Yayan，Zhu Jianxin.A local orthogonal transform for acoustic waveguides with an internal interface[J].J Computational Acoustics，2004，12（1）：37-53.

[6]Lu Yayan，Huang Jinyang，Mclaughlin J R.Local orthogonal transformation and one-way methods for acoustics waveguides[J].Wave Motion，2001，34（2）：193-207.

[7]Zhu Jianxin.Local orthogonal transformation for acoustic waveguide[J].Appl Math J Chinese Univ，2000，15（4）：443-452.

[8]Zhu Jianxin，Li Peng.Local orthogonal transform for a class of acoustic waveguide[J].Progess in Natural Science，2007，17：18-28.

[9]Zhu Jianxin，Lu Yayan.Leaky modes of slab waveguides-asymptotic solutions[J].Journal of Lightwave Technology，2006，24（3）：1619-1623.

[10]朱建新，錢微微.一類帶PML聲波導中的共軛特征函數構造及其應用[J].浙江大學學報：理學版，2007，34（6）：605-608.

附 錄

Construction of Conjugate Characteristic Operator for a Class of the Optical Waveguides with PML

GUO Qiong，ZHU Yan-zhi，MA Yun-juan
（College of Science，Hangzhou Normal University，Hangzhou 310036，China）

The unbounded optical waveguide with three curved interfaces were converted into the bounded optical waveguide with flat interfaces by coordinate transform and terminated by the perfectly matched layer.The paper used the improved and complex Helmholtz equation to solve the wave propagation problem，deduced the equation for the conjugate eigenfunctions of improved and complex Helmholtz equation，proved the orthogonal property between the characteristic eigenfunctions and the conjugate eigenfunctions，and provided a simple formula for calculating the coordinates under the local bases.

perfectly matched layer；conjugate eigenfunction；Helmholtz equation；local coordinate transform；TE

O174.41 MSC2010：47H10；54H25

A

1674-232X（2012）04-0323-08

11.3969／j.issn.1674-232X.2012.04.008

2011-12-02

朱燕芝（1987—），女，應用數學專業碩士研究生，主要從事科學計算研究.E-mail：lengyue1111＠163.com