一類具多偏差變元的p－Laplacian中立型Rayleigh方程的周期解

董冉冉，尹紅云，張道祥

（安徽師范大學數學與計算機科學學院，安徽蕪湖 241000）

一類具多偏差變元的p－Laplacian中立型Rayleigh方程的周期解

董冉冉，尹紅云，張道祥

（安徽師范大學數學與計算機科學學院，安徽蕪湖 241000）

利用廣義的Mawhin重合度理論研究了一類具多偏差變元的p－Laplacian中立型Rayleigh方程的ω－周期解問題，并得到了周期解存在的充分條件.

周期解；中立型Rayleigh方程；偏差變元

0 引 言

中立型泛函微分方程吸引著眾多學者的研究興趣［1－4］，主要因為它能夠為諸如生物、電子、機械和經濟等眾多領域提供良好的數學模型，以及對其研究具有重要的理論意義.特別地，人們近年來開始關注具偏差變元的p－Laplacian中立型Rayleigh方程［5－6］.文［5］利用拓撲度理論和一些分析技巧研究了具一個偏差變元的p－Laplacian中立型Rayleigh方程（φp（（x（t）－cx（t－σ））′））′＋f（x′（t））＋g（x（t－τ（t）））＝e（t）.而文［6］則將這種類型的方程（φp（（x（t）－cx（t－σ））′））′＋f（x′（t））＋α（t）g（x（t－τ（t）））＝e（t）轉化為一個二維系統，進而利用Mawhin重合度理論討論了其周期解.

本文在［5－6］的基礎上進一步研究了一類具多偏差變元的p－Laplacian中立型Rayleigh方程：

1 預備知識

為敘述方便，首先引入以下記號：

下面介紹廣義的Mawhin重合度理論（Extension of Mawhin's continuation theorem）.

定義1［7］設X，Z是兩個Banach空間，其模分別為‖·‖X，‖·‖Z.如果連續算子M：X∩domM→Z滿足：（i）ImM：＝M（X∩domM）是Z的一個閉子集；（ii）KerM：＝｛x∈X∩domM：Mx＝0｝與Rn（n＜∞）是線性同構的.則稱M是擬線性的.

定義2［4，7］設Ω?X是有界開集，其原點θ∈Ω.稱Nλ→Z，λ∈［0，1］在上是M－緊的，如果存在Z的子集Z1滿足dimZ1＝dimKerM，并且算子R：×［0，1］→X2是連續緊的使得對λ∈［0，1］有

（a）（I－Q）Nλ）?ImM?（I－Q）Z，

（b）QNλx＝θ，λ∈（0，1）?QNx＝θ，?x∈Ω，

（d）M［P＋R（·，λ）］＝（I－Q）Nλ，λ∈［0，1］，

其中X2是KerM在X中的補空間，即X＝KerM⊕X2；投影算子P，Q滿足ImP＝KerM，ImQ＝Z1，N＝N1，Σλ＝｛x∈：Mx＝Nλx｝.

引理1［4，7］設X，Z是兩個Banach空間，其模分別為‖·‖X，‖·‖Z，且Ω?X是一個非空有界開集.若M：X∩domM→Z是擬線性的，Nλ→Z，λ∈［0，1］在上是緊的.并假設下列條件成立：

（H1）Mx≠Nλx，?（x，λ）∈?Ω×（0，1）；

（H2）QNλx≠0，?x∈KerM∩?Ω；

（H3）deg｛JQN，Ω∩KerM，0｝≠0，J：ImQ→KerM是同構映射.

則方程……