謝明文,宋賢梅
(安徽師范大學數(shù)學與計算機科學學院,安徽蕪湖 241000)
廣義morphic環(huán)的注記
謝明文,宋賢梅
(安徽師范大學數(shù)學與計算機科學學院,安徽蕪湖 241000)
環(huán)R稱為左廣義morphic的,如果對任意的a∈R,存在b∈R使得l(a)?R/Rb,其中l(wèi)(a)表示a在R中的左零化子.右廣義morphic環(huán)可以類似的定義.證明了右廣義morphic環(huán)R是左擬morphic環(huán)當且僅當R是左廣義morphic右P-內射的.此外通過平凡擴張給出了廣義morphic環(huán)一些新的例子.
廣義morphic環(huán);P-內射環(huán);擬morphic環(huán)
Morphic環(huán)是由Nicholson和Campos引入并研究[1].Chen和Zhou研究了更多有關morphic環(huán)的性質[2-5].環(huán)R稱為左morphic的,如果對任意的a∈R,有R/Ra?l(a),等價于對每個a∈R,存在b∈R使得Ra=l(b),l(a)=Rb.在文[6]中Camillo和Nicholson又介紹了左擬morphic環(huán).R稱為左擬morphic環(huán),如果對任意的a∈R,存在b,c∈R使得Ra=l(b),l(a)=Rc.Zhu和Ding在文[7]中介紹了廣義morphic環(huán),這種環(huán)是左擬morphic環(huán)的推廣.環(huán)R稱為左廣義morphic環(huán),如果對每個a∈R,都存在b,c∈R使得l(a)=Rb,l(b)=Rc.
在此主要討論更多關于廣義morphic環(huán)的性質.在第二部分中,筆者研究了廣義morphic環(huán),P-內射環(huán)和擬morphic環(huán)的關系.證明了如果R是右廣義morphic環(huán),那么R是左廣義morphic右P-內射的當且僅當R是左擬morphic環(huán).但是廣義morphic環(huán)和P-內射環(huán)之間沒有必要的聯(lián)系.在第三部分里,研究了由環(huán)R及R上的雙模M構成的擴張R∝M在何種情況下是左廣義morphic的.例如當n≥2時,Zn∝Zn是廣義morphic的當且僅當n是不同素數(shù)的乘積;若T=R∝V,其中R是整環(huán),V是R上的非零雙模,則T∝T不是廣義morphic的.一些關于morphic環(huán)的已知結果是文章結果的推論.最后一部分,證明了環(huán)R[D,C]是左廣義morphic環(huán)當且僅當下面的兩個式子成立:(1)D是左廣義morphic環(huán);(2)對任意的x∈C,存在y,z∈C使得lC(x)=Cy,lC(y)=Cz,lD(x)=Dy和lD(y)=Dz.
文章中的環(huán)均指有單位元的結合環(huán),所有的模也均有單位元.下面回憶……