廣義morphic環(huán)的注記

謝明文，宋賢梅

（安徽師范大學數(shù)學與計算機科學學院，安徽蕪湖 241000）

廣義morphic環(huán)的注記

謝明文，宋賢梅

（安徽師范大學數(shù)學與計算機科學學院，安徽蕪湖 241000）

環(huán)R稱為左廣義morphic的，如果對任意的a∈R，存在b∈R使得l（a）?R/Rb，其中l(wèi)（a）表示a在R中的左零化子.右廣義morphic環(huán)可以類似的定義.證明了右廣義morphic環(huán)R是左擬morphic環(huán)當且僅當R是左廣義morphic右P－內射的.此外通過平凡擴張給出了廣義morphic環(huán)一些新的例子.

廣義morphic環(huán)；P－內射環(huán)；擬morphic環(huán)

0 引 言

Morphic環(huán)是由Nicholson和Campos引入并研究［1］.Chen和Zhou研究了更多有關morphic環(huán)的性質［2－5］.環(huán)R稱為左morphic的，如果對任意的a∈R，有R/Ra?l（a），等價于對每個a∈R，存在b∈R使得Ra＝l（b），l（a）＝Rb.在文［6］中Camillo和Nicholson又介紹了左擬morphic環(huán).R稱為左擬morphic環(huán)，如果對任意的a∈R，存在b，c∈R使得Ra＝l（b），l（a）＝Rc.Zhu和Ding在文［7］中介紹了廣義morphic環(huán)，這種環(huán)是左擬morphic環(huán)的推廣.環(huán)R稱為左廣義morphic環(huán)，如果對每個a∈R，都存在b，c∈R使得l（a）＝Rb，l（b）＝Rc.

在此主要討論更多關于廣義morphic環(huán)的性質.在第二部分中，筆者研究了廣義morphic環(huán)，P－內射環(huán)和擬morphic環(huán)的關系.證明了如果R是右廣義morphic環(huán)，那么R是左廣義morphic右P－內射的當且僅當R是左擬morphic環(huán).但是廣義morphic環(huán)和P－內射環(huán)之間沒有必要的聯(lián)系.在第三部分里，研究了由環(huán)R及R上的雙模M構成的擴張R∝M在何種情況下是左廣義morphic的.例如當n≥2時，Zn∝Zn是廣義morphic的當且僅當n是不同素數(shù)的乘積；若T＝R∝V，其中R是整環(huán)，V是R上的非零雙模，則T∝T不是廣義morphic的.一些關于morphic環(huán)的已知結果是文章結果的推論.最后一部分，證明了環(huán)R［D，C］是左廣義morphic環(huán)當且僅當下面的兩個式子成立：（1）D是左廣義morphic環(huán)；（2）對任意的x∈C，存在y，z∈C使得lC（x）＝Cy，lC（y）＝Cz，lD（x）＝Dy和lD（y）＝Dz.

文章中的環(huán)均指有單位元的結合環(huán)，所有的模也均有單位元.下面回憶……