共形平坦流形中具有常平均曲率的超曲面

宋晴晴，宋衛東

（安徽師范大學數學計算機科學學院，安徽蕪湖241000）

1 引言及主要結果

設Nn+1是n+1 維共形平坦單連通完備黎曼流形，Mn是Nn+1中具有常平均曲率的緊致無邊的超曲面。對于共形平坦流形的子流形已有不少研究［1-3］。文［1］研究共形平坦黎曼流形中具有常平均曲率的完備超曲面，獲得了一些剛性定理，文章繼續類似的問題得到如下結果：

定理1設Mn是局部對稱共形平坦流形Nn+1中的緊致無邊的超曲面，且具有常平均曲率，以S代表其第二基本形式模長的平方，令Tc，tc分別是Nn+1的Ricci 曲率的上確界和下確界，如果Nn+1在Mn上x點處的截面曲率Kn+1in+1i滿足，則

1）如果S≤，那么M是全臍的超曲面。

2）如果S=，那么M是全臍的或者與一個有兩個不同的主曲率，且其中一個主曲率是一重的超曲面等距。

其中S代表其第二基本形式模長的平方，tc，Tc分別是Nn+1的Ricci 曲率的上確界和下確界，{λi}是M的主曲率。

2 準備工作

如無特別說明，規定各類指標的取值范圍如下：

1 ≤A，B，C，…≤n+1;1 ≤i，j，k，…≤n

并且Σ 號下重復指標表示在相應范圍內求和。

設Mn是n+1維局部對稱共形平坦空間Nn+1中具有常平均曲率的完備超曲面。在Nn+1上選取局部標準正交標架場{eA} ，使得它限制在Mn上，{ei} 與Mn相切，en+1與Mn正交。設{ωA} 和{ωAB}分別是{eA} 的對偶標架場和聯絡1-形式。在此標架下Nn+1的結構方程為[4]

限制在Mn上，有[5]

其中：ωij是Mn的聯絡1-形式。hij，Rijkl，KABCD分別表示Mn的第二基本形式，曲率張量R的分量和Nn+1曲率張量K的分量。Mn的第二基本形式模長的平方的平均曲率。用hijk和hijkl分別表示hij的共變導數，則[5]

Nn+1是局部對稱的，則

又Nn+1是共形平坦的，即其黎曼曲率張量為

其中：K，KAB分別為Nn+1的數量曲率、Ricci曲率。

令Tc，tc分別是Nn+1的Ricci曲率的上確界和下確界，則

引理[6]設u1，u2，…，un是n個實數，滿足=B，B≥0，則

且等號成立當且僅當有n-1個ui相等。

3 定理1的證明

現定義hij的Laplacian為則

由于Mn具有常平均曲率，所以

因此

由［7］知

則有

選取適當的基使

下面估計（18）式中各項，由（11）式有

令

因此，由（13）（21）式有

作正交變換

F(x，y)可以寫成

令x=，y=。

又由于（23）是正交變換，于是

x2+y2=u2+v2=S

可得

以（22）（24）得

由（18）（19）（20）（25）（26）式可得

又由定理1的條件可得

所以

1）若

則由（27）式有

0=|Z2|=S-nH2

于是M為全臍類空超曲面。

2）若

則（27）式等號成立，于是（22）（26）式均取等號，由（22）等號成立知，至少有n-1個λi相等。（i）若

λ1=λ2=…=λn

則M全臍。

（ii）若

λ1=λ，λ2=…=λn=u，λ≠u

利用hijk的定義。有

0=λiωij+λjωji=(λi-λj)ωij

故

從而當

當等式（22）成立時，有Kijij=。

由（6）式得

由引理不妨設

μ1=μ2=…=μn-1，μn≠μ1，μi=H-λi，i=1，2，…，n

故

λi≥H(i=1，2，…，n)

令

λ1=λ2=…=λn-1，μ=λn

由方程（30）可得

從而

所以，M與一個有兩個不同的主曲率，且其中一個主曲率是一重的超曲面等距。

即定理1得證。

［1］吳澤九.共形平坦流形的一類具常平均曲率的完備超曲面［J］.華東交通大學學報，2008，25（2）：59-63.

［2］段仁杰，陳撫良. 局部對稱共形平坦黎曼流形中具有平行平均曲率向量的緊致子流形［J］. 江西科學，2011，29（3）：308-312.

［3］宋衛東，劉敏.關于局部對稱共形平坦空間中具有常數量曲率的子流形［J］.數學物理學報，2010，30（4）：1102-1110.

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［7］水乃翔，吳國強.局部對稱黎曼流形中的極小超曲面［J］.數學年刊，1995，16（6）：687-691.

［8］張劍峰.局部對稱共形平坦黎曼流形中緊致子流形的一個剛性定理［J］.高校應用數學學報A輯，2002，17（4）：485-490.