P-CS模的遺傳性＊

徐小敏， 陳淼森

(浙江師范大學數理與信息工程學院，浙江金華 321004)

0 引言

近年來，關于一些廣義CS模［1-2］的討論一直是熱點研究之一．Smith在文獻［3］中曾經提出了2個問題:一是弱CS模的直和項是弱CS嗎?二是CS模的直和項是弱CS模嗎?關于CS模［4-5］，第1 個問題是成立的．對于P-CS模［6］，文獻［6-7］在討論這2個問題時加了一定的條件．其他有關CS模的信息，可參閱文獻［8-10］．在以上這些研究的基礎上，本文就這2個問題進行了討論，并給出了其結論成立的條件:1)若M=M1⊕M2，M滿足C2條件，則M是P-CS模當且僅當M1，M2均是P-CS模;2)若M=M1⊕M2，M 滿足 C3條件，則 M的直和項也是P-CS模．進而討論了P-CS模對一般子模的遺傳性，最后利用內射包，得到了一些很好的等價條件:設M是P-CS模，N是M的直和項，N是內射模，則N也是P-CS模．若M的任何循環子模C都是內射的，則有以下結論成立:1)M是P-CS模當且僅當C是M的直和項;2)M是PCS模當且僅當M的任意直和項N都是P-CS模．

為方便討論，特約定:文中涉及的環均指有單位元的結合環，模指左R-模，N≤M表示N是M的子模，N?M表示N是M的本質子模，E(S)表示模S的內射包．

1 基本概念

定義1［5］M是CS模，當且僅當M 的任意子模都是其直和項的本質子模．

定義2［6］設M是左R-模，稱M是P-CS模，若M的任意循環子模都是M某一直和項的本質子模．

顯然，若M是CS模，則M一定是P-CS模．

模M滿足C2條件:若M的子模N同構于M的直和項，則N是M的直和項．

模M滿足C3條件:若M1，M2是M的直和項且M1∩M2=0，則M1⊕M2也是M的直和項．

2 主要結論

定理1 設M=M1⊕M2，且M是滿足C2條件的P-CS模，則M1，M2均是P-CS模．

證明 設 C是 M2的任一循環子模，則C∩M1=0且C也是M的循環子模，所以C是M的直和項 N的本質子模．若 N∩M1≠0，則C∩N∩M1=C∩M1，得到矛盾，即 N∩M1=0．于是存在M的子模S同構于M2，使得N≤S，由M

若 M=S⊕X，則對于 g:S⊕X→S，Ker g=X=M1．又因為N是M的直和項，S是M的直和項，N≤S，所以N是S的直和項．因此，N同構于M2的一個直和項N'，則C是 N'的本質子模，即C是M2某一直和項N'的本質子模，M2是P-CS模．同理，M1是P-CS模．定理1證畢．

推論1 設M=M1⊕M2，且M滿足C2條件，則以下陳述等價:

1)M2是P-CS模;

2)對M的滿足C∩M1=0的循環子模C都是M直和項的本質子模．

證明 1)?2) 若 C∩M1=0，則 C≤S．因此，S是M的子模同構于M2，S是M的直和項且是P-CS模．所以，C是S某一直和項的本質子模，也是M直和項的本質子模．

2)?1) 對 M2的任一循環子模 C，有C∩M1=0，因此，C是M直和項N的本質子模．而N∩M1=0，于是存在M的子模S同構于M2，使得N≤S且M=M1⊕S，N是S的直和項，所以N同構于M2的一個直和項N'．因此，C是N'的本質子模，即M2是P-CS模．推論1證畢．

定理2 設M=M1⊕M2，且M滿足C2條件，M1，M2均是P-CS模，則M是P-CS模．

證明 設C是M的任一循環子模，下面分2種情況討論．

1)若C∩M1=0，則存在M的子模S同構于M2且C≤S．因此，S也是P-CS模且C是 S某一直和項的本質子模．由 M滿足 C2條件知M=M1⊕S，故C也是M某一直和項的本質子模，即M是P-CS模．

2)若 C∩M1≠0，設 C'是 C的使得 C=(C∩M1)⊕C'的子模，C'∩M1=0．因為 C∩M1是M1的循環子模，所以C∩M1是M1的直和項K1的本質子模．其中，M1=K1⊕K2．另一方面，因為C'∩M1=0，所以存在M的直和項S同構于M2且C'≤S，M=M1⊕S，S=S1⊕S2．其中，C'是 S1的本質子模．于是 M=M1⊕S=K1⊕K2⊕S1⊕S2，即C=(C∩M1)⊕C'是M的直和項K1⊕S1的本質子模，M是P-CS模．定理2證畢．

定理1和定理2給出了P-CS模對其直和與直和項保持遺傳性成立的充要條件，這個結論對有限直和也同樣成立，因此有推論2．

推論2 設 M= ⊕i∈IMi，且 M 滿足 C2條件，則以下陳述等價:

1)M是P-CS模;

2)Mi均是 P-CS 模(?i∈I)．

下面討論在一定條件下，P-CS模對其直和項具有遺傳性．

定理3 若M是滿足C3條件的P-CS模，則M的直和項也是P-CS模．

證明 設M1是M的直和項，則存在M的子模 M2，使得 M=M1⊕M2．下證 M1是 P-CS模．

取M1的循環子模C，則C∩M2=0且C也是M的循環子模．由于M是P-CS模，所以存在M的直和項N，使得C?N且N∩M2=0．因為模M滿足C3條件，所以 N⊕M2為 M的直和項．令Π:M1⊕M2→M1，則 N⊕M2= Π(N)⊕M2，所以Π(N)為 M的直和項．因為 Π (N)≤M1，所以Π(N)也是M1的直和項．又因為C?N，所以C=Π(C)?Π(N)，從而M1也是P-CS模．定理3證畢．

定理4 設M是P-CS模，N是M的直和項．若對N的任何循環子模C都有E(C)≤N，則N也是P-CS模．

證明 設C是N的循環子模，則C也是M的循環子模．由于M是P-CS模，所以存在M的直和項 M1，使得 C?M1，從而 E(C)=E(M1)．又M1?E(M1)=E(C)≤N，所以M1也是N的直和項，從而N也是P-CS模．定理4證畢．

下面討論P-CS模對一般子模的遺傳性．

定理5 設M是P-CS模，X是M的子模．若X與M的任何直和項的交都是X的某個直和項的本質子模，則X是P-CS模．

證明 設C是X的循環子模，則C也是M的循環子模．由于M是P-CS模，所以存在M的直和項M1，使得C?M1．又已知存在 X的直和項X'，使(X ∩M1)?X'，所以

因此X也是P-CS模．定理5證畢．

稱模M為分配模，如果M的子模格是分配格．

定理6 設M是P-CS模，且M是分配模，則M的任意子模都是P-CS模．

證明 設N≤M，且C是N的循環子模，則C也是M的循環子模．由于M是P-CS模，所以存在M 的直和項 M1，使得 C?M1，故 C?N∩M1．而 M是分配模，所以N∩M1是N的直和項，則N是PCS模．定理6證畢．

由于每個模都可以嵌入到每個內射模中(即它的內射包)，非常自然地會考慮:如何利用內射包來討論模的P-CS條件．由于內射模的內射包是其本身，所以有以下推論:

推論3 設M是P-CS模，且N是M的直和項，N是內射模，則N也是P-CS模．

定理7 若M的任何循環子模C都是內射的，則以下陳述等價:

1)M是P-CS模;

2)C是M的直和項．

證明 2)?1) 由C的任意性可得．

1)?2) 由于M是P-CS模，所以存在M的直和項N，使得C?N，因此，E(N)=E(C)=C≤N．于是N=E(N)=C，即C是M的直和項．定理7證畢．

定理8 若M的任何循環子模C都是內射的，則以下陳述等價:

1)M是P-CS模;

2)M的任意直和項N都是P-CS模．

證明 2)?1) 當N=M時顯然成立．

1)?2) 設C是N的任意循環子模，則C也是M的循環子模．由定理7知，C是M的直和項．又N也是M的直和項，且C≤N，所以C是N的直和項，從而N是P-CS模．定理8證畢．

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