冷貯備可修復系統解的指數漸近穩定性＊

胡曉曉， 謝觀湧

(溫州醫學院信息與工程學院，浙江溫州 325035)

冷貯備系統多被應用在工業上，已有許多學者對此進行研究［1］．本文通過證明系統算子可以生成正壓縮C0半群，得到T(t)是擬緊算子，并進一步指出系統算子的豫解集是右半平面和虛軸上除0點以外的所有點．由此推出:該系統的時間依賴解，當時間趨向于無窮時，以指數形式收斂于系統的穩態解．

由文獻［1］得到的系統可以由以下方程組描述:

式(1)中:(x，t)∈［0，∞］×［0，∞);p0(t)表示一個部件在工作，另一個部件在t時刻冷貯備的概率;p1(x，t)dx表示在(x，x+dx)內一個部件工作，另一個部件在維修的概率;p2(x，t)dx表示在(x，x+dx)內一個部件在維修，另一個部件在等待維修的概率;λ表示部件的故障率;μ(x)是風險函數，且滿足

取狀態空間

顯然，X是Banach空間．記

同時引進算子A，B，E及其相應的定義域．

這樣，方程組(1)可改寫為Banach空間X中的抽象Cauchy問題

定理1 A+B+E生成正壓縮C0半群T(t)．

因為E是緊算子，因此可由文獻［2］中的命題2．9推出以下結論:

定理2 A+B生成正壓縮C0半群S(t)．

本文首先證明S(t)是擬緊算子;其次，由E的緊性得到T(t)是緊算子;然后，證明0是算子A+B+E和其共軛算子(A+B+E)*幾何重數和代數重數為1的特征值;最后，利用文獻［2］中的定理5得到本文結論．

命題1 若p(x，t)=(S(t)φ)(x)是以下方程的解:

則

證明 因為p(x)是方程(3)的解，所以

由式(4)和式(9)得

若 ξ≥0(即 x≥t)，則對式(10)由 0 到 t積分，且由 Q1(0)=p1(ξ，0)=φ1(x－ t)，Q2(0)=p2(ξ，0)=φ2(x－t)知，方程(10)的解類似于式(11)～式(13)，于是

命題1證畢．

現在定義以下2個算子(p∈X):

則S(t)p=V(t)p+W(t)p．

由引理1和文獻［4］可以得到以下結論:

引理2 X中的有界閉子集M是緊的，當且僅當以下2個條件成立:

證明 與文獻［5］中的證明類似，故略．

證明

定理4證畢．

由定理3和定理4可以推出

結合文獻［2］中的定義2．7可以得到以下結論:

定理5 S(t)是X的擬緊算子．

因為E是X上的緊算子，所以由定理5和文獻［2］中的命題2．9可以得到以下結論:

推論1 T(t)是X的擬緊算子．

引理3 0是A+B+E的幾何重數為1的特征值．

證明 與文獻［6］的方法類似，故略．

易證X的共軛空間X*為

引理4 A+B+E的共軛算子(A+B+E)*為

其中:

證明 與文獻［6］的方法類似，故略．

引理5 0是(A+B+E)*的幾何重數為1的特征值．

證明 與文獻［6］的方法類似，故略．

由文獻［6］的結論可得以下引理6、引理7．

引理6 0是A+B+E的代數重數為1的特征值．

引理7 0是(A+B+E)*的代數重數為1的特征值．

結合引理 3、定理1、推論1 及文獻［2］中的命題2．9、定理 2．10，得

證明 利用定理5及文獻［2］中的定理2．10可得

因此，系統解的指數漸近穩定性就得到證明．

［1］曹晉華，程侃．可靠性數學引論［M］．北京:高等教育出版社，2006:273-278．

［2］Nagel R．One-parameter semigroups of positive operators［M］．New York:Spring-Verlag，1986．

［3］Webb G F．Theory of non-linear age-dependent population dynamics［M］．New York:Marcel Dekker，1985．

［4］艾尼·吾甫爾．一類Banach空間中列緊集的描述［J］．新疆大學學報:自然科學版，2005，22(4):389-392．

［5］Gupur G，Li Xuezhi，Zhu Guangtian．Functional analysis method in queueing theory［M］．Hertfordshire:Research Information Ltd，2001．

［6］Shen Zifei，Hu Xiaoxiao，Fan Weifeng．Exponential asymptotic property of a parallel repairable system with warm standby under common-cause failure［J］．Journal of Mathematical Analysis and Applications，2008，341(1):457-466．