Banach 空間中含(A，η，m)-增生算子的一類新廣義非線性集值變分包含組*

祝 聰， 倪仁興

(1．浙江師范大學 數理與信息工程學院，浙江 金華 321004;2．紹興文理學院 數學系，浙江 紹興312000)

0 引言

1970年，Brezis［1］在討論變分不等式問題時最先提出了“預解算子”的概念;隨后，Hassouni和Moudafi［2］將它作了改進和完善．Noor［3］在預解算子的基礎上又提出了預解方程并建立了它和混合變分不等式之間的等價關系．近幾年來，預解算子技術在發展不同類型的變分不等式(或變分包含)的迭代算法和研究解的存在性受到了國內外許多學者的興趣［4-15］．例如：2006年，Lan等［8］引進了(A，η)-增生映射的概念及含(A，η)-增生映射的預解算子的定義，同時使用該類預解算子解決了一類變分包含問題;2007年，Xia等［9］引入了廣義H-單調算子，并在Banach空間中研究了帶有廣義H-單調算子的變分包含問題;特別地，2009年，Yang等［14］在Banach空間中研究了如下一類廣義非線性集值變分包含系統：對 i=1，2，設 s，p，g，Ai：X→X 為單值映射，Ni，ηi：X × X→X 為單值映射，T，Q：X→2X為集值映射，Mi：X→X 為(Ai，ηi)-增生映射．尋找 x，y∈X，使得 g(x)∈dom(M1)且

他們證明了所構造的算法強收斂于該類廣義非線性集值變分包含的解．

受上述結果的啟發，本文在一般Banach空間框架中，對廣義預解算子，通過構造新的更為廣泛的變分包含系統，且在假定它的解存在的情況下，在適當的條件下給出了迭代序列強收斂的新結果．

1 預備知識

全文均設X是實Banach空間，X*為X的對偶空間，〈u，v〉是u∈X*與v∈X間的對偶對．R+為正實數集．廣義對偶映射 Jq：X→2X*定義如下：Jq(x)={f*∈X*：〈x，f*〉=‖x‖q，‖f*‖ =‖x‖*}，?x∈X．其中q＞1為常數．特別地，J2為正規對偶映射．顯然，Jq(x)=‖x‖q－2J2(x)對所有x≠0成立．如果X=H是Hilbert空間，那么，J2就是恒等映射I．

X 的光滑模 ρX：［0，∞)→［0，∞)定義為

引理1［16］設X是一致光滑實的Banach空間，則X是q-一致光滑的充要條件是：存在常數Cq＞0，使得

式(1)中：λ1，λ2∈R+是固定參量;β∈［0，1)．以下是問題(1)的特殊情況：

1)若 p2=0，Ni(·，·，·)=Ni(·，·)，Mi(·，·)=Mi(·)，gi(·，·)=gi(·)(i=1，2)，g2=I，β =0，則問題(1)等價于尋找 x，y∈X，滿足

問題(2)即為文獻［14］中的一類新廣義非線性集值變分包含系統．

2)若 X=H 是 Hilbert空間，Mi(·，·)=Mi(·)是(Hi，ηi)-單調算子，g1=I，則問題(2)等價于尋找 x1，x2∈H，滿足

定義1［8］設S：X→X，N：X×X×R+→X都是單值映射．稱單值映射N為：

1)對第1個變元關于映射S是(a，b)-松弛余強制，如果存在常數a，b＞0，使得

定義2［8］若 η：X ×X→X，A：X→X 為單值映射，則稱集值映射M：X→2X為：

1)r-強 η-增生，如果存在常數 r＞0，對任意 x，y∈X，u∈M(x)，v∈M(y)，有

2)m-松弛 η-增生，如果存在常數 m ＞0，對任意 x，y∈X，u∈M(x)，v∈M(y)，有

3)(A，η，m)-增生，如果 M 是 m-松弛 η-增生且(A+ρM)(X)=X，?ρ＞0．

其中，λ＞0是常數．

2 主要結果

在假定問題(1)有解的前提下，對(A，η，m)-增生映射，運用廣義預解算子技術，探討問題(1)解的迭代逼近問題．

引理4 對任意給定的x，y∈X，(x，y)是問題(1)的解等價于

受上述方程的啟發，構造以下Ishikawa型迭代算法：

算法1 對任給x0∈X，記

算法2 對任給x0∈X，記

算法2即為文獻［14］所討論的迭代算法，其收斂性問題Yang等［14］已作過仔細的研究和探討．

若X=H是Hilbert空間，Mi(·，·)=Mi(·)，g1=I，則算法2等價于下面的算法3，可解決問題(3)：

算法3 對任給x0∈X，記

定理1 設 X 是 q-一致光滑實 Banach空間．對 i=1，2，gi－pi：X ×R+→X 為(ai，bi)-松弛余強制且γi-Lipschitz連續，s，p：X→X 為 μ，κ-Lipschitz連續，T，Q，E，G：X→CB(X)分別為 θ，δ，ξ，ζ-H-Lipschitz連續，N1：X×X×R+→X關于第1元和第2元分別為 μ1，β-Lipschitz連續且相對于第1元關于s是(α1，β1)-松弛余強制，N2：X×X×R+→X關于第1元和第2元分別為μ2，β'-Lipschitz連續且相對于第1元關于 p 是(α2，β2)-松弛余強制，ηi：X × X→X 是 τi-Lipschitz 連續，Ai：X→X 為 ri-強 ηi-增生，Mi：X × X ×R+→2X為(Ai，ηi，mi)-增生映射，且?υ1，υ2＞ 0，使得

假設問題(1)有解，那么由算法1定義的迭代序列{xn}，{yn}強收斂于問題(1)的解．證明 設(x*，y*)是問題(1)的解，則由引理4有

由于 T(yn)，T(y*)，E(yn)，E(y*)，Q(yn)，Q(x*)，G(xn)，G(x*)∈CB(X)，?n≥0，則對任給的 ε ＞0，由 Nadler引理知，?vn∈T(yn)，un∈Q(xn)，zn∈E(yn)，wn∈G(xn)，有

則由算法1和引理2有

而由引理1知，g1－p1為(a1，b1)-松弛余強制和 γ1-Lipschitz連續，得

另外，

再次利用了引理1，N1的Lipschitz連續和關于第1元是(α1，β1)-松弛余強制的，得

把式(6)～式(8)代入式(5)，得

式(9)中：

由于{βn}為一實數序列，且 βn∈［0，1)，故類似可得

故

其中：

把式(10)代入式(9)并整理得

則

根據條件 βn∈［0，1)，0 ＜t1=l'+h2＜1，得

定理1 中若 pi=0，Ni(·，·，·)=Ni(·，·)，Mi(·，·)=Mi(·)，gi(·，·)=gi(·)(i=1，2)，g2=I，β =0，即得文獻［14］中的定理3．1;進一步，若 g1=I，則得文獻［14］中的定理3．2．

推論1 設 X=H 是實 Hilbert空間．對 i=1，2，s，p：H→H 為 μ，κ-Lipschitz連續，T，Q：H→CB(H)分別為θ，δ-H-Lipschitz連續，N1：H×H→H關于第1元和第2元分別為 μ1，β-Lipschitz連續且相對于第1元關于 s是(α1，β1)-松弛余強制，N2：H ×H→H 關于第1元和第2 元分別為 μ2，β'-Lipschitz連續且相對于第1 元關于 p 是(α2，β2)-松弛余強制，ηi：H × H→H 是 τi-Lipschitz連續，Ai：H→H 為 ri-強 ηi-單調，Mi：H→2H為(Hi，ηi)-單調算子，若存在常數 ρ＞0，■ ＞ 0，滿足

假設問題(3)有解，那么由算法3定義的迭代序列{xn}，{yn}強收斂于問題(3)的解．

定義4［19］若 η：H×H→H，T：H→H為2個單值映射，φ：H→R∪{+∞}為具 η-次微分的真函數，若對任意 x∈H，ρ＞0，存在唯一點 u∈H 滿足〈Tu，η(y，u)〉≥ρφ(u) －ρφ(y)，?y∈H，那么映射x→u 定

引理5［21］若 T：H→H 為 γ-強 η-單調，η：H × H→H 為 σ-Lipschitz連續，滿足?x，y∈H，η(x，y)=－η(y，x)，并且對任給的 x∈H，函數 h(y，u)=〈x－ Tu，η(y，u)〉關于 y是 0-對角擬凹的，φ：H→R∪{+ ∞}為具 η-次微分的真函數，那么?ηφ 是(T，η)-單調的．

算法4 對任給x0∈X，記

推論2 設 X=H 是實 Hilbert空間．對 i=1，2，ηi：H ×H→H 是 τi-Lipschitz連續，Hi：H→H 為 ri-強ηi-單調，滿足?xi，yi∈H，ηi(xi，yi)= － η(yi，xi)，并且對任給的 xi∈H，函數 hi(yi，ui)=〈xi－ Hiui，ηi(yi，ui)〉關于 yi是0-對角擬凹的，φi：H→R∪{+∞}為 ηi-次微分函數，s，p：H→H 為 μ，κ-Lipschitz連續，T，Q：H→CB(H)分別為 θ，δ-H-Lipschitz連續，N1：H ×H→H 關于第 1 元和第 2 元分別為 μ1，β-Lipschitz連續且相對于第1元關于s是(α1，β1)-松弛余強制，N2：H×H→H關于第1元和第2元分別為μ2，β'-Lipschitz連續且相對于第 1 元關于 p 是(α2，β2)-松弛余強制，ηi：H × H→H 是 τi-Lipschitz連續，Ai：H→H為 ri-強 ηi-單調，Mi：H→2H為(Hi，ηi)-單調算子，若存在常數，滿足

假設問題(4)有解，那么由算法4定義的迭代序列{xn}，{yn}強收斂于問題(4)的解．

［1］Brezis H．Operateur maximaux monotones et semigroups de contractions dans les espaces de Hilbert［M］．Amaterdam：Norh-Holland，1973．

［2］Hassouni A，Moudafi A．A perturbed algorithm for variational inclusions［J］．J Math Anal Appl，1994，185(3)：706-712．

［3］Noor M A．Some recent advances in variational inequalities，Part I：Basic concepts［J］．New Zealand J Math，1997，26：53-80．

［4］黃南京，方亞平．Banach 空間中的廣義 m-增生映像［J］．四川大學學報：自然科學版，2001，38(4)：591-592．

［5］Fang Y P，Huang N J．H-monotone operators and resolvent operator technique for variational inclusions［J］．Appl Math Comput，2003，145(2/3)：795-803．

［6］Fang Y P，Huang N J．H-accretive monotone operators and resolvent operator technique for solving variational inclusions in Banach spaces［J］．Appl Math Lett，2004，17(6)：647-653．

［7］Fang Y P，Huang N J，Thompson H B．A new system of varitional inclusions with monotone operators in Hilbert spaces［J］．Comput Math Appl，2005，49(2/3)：365-374．

［8］Lan H Y，Cho Y J，Verma R U．On nonlinear relaxed cocoercive variational inclusions involving accretive mappings in Banach spaces［J］．Comput Math Appl，2006，51(9/10)：1529-1538．

［9］Xia Fuquan，Huang Nanjing．Variational inclutions with a generalized H-monotone operator in Banach spaces［J］．Comput Math Appl，2007，54(1)：24-30．

［10］Verma R U．Projection methods，algorithms，and a new system of nonlinear variational inequalities［J］．Comput Math Appl，2001，41(7/8)：1025-1031．

［11］Verma R U．Generalized system for relaxed coercive variational inequalities and projection methods［J］．J Optim Theory Appl，2004，121(1)：203-210．

［12］Kim J K，Kim D S．A new system of generalized nonlinear mixed variational inequalities in Hilbert spaces［J］．Journal of Convex Analysis，2004，11(1)：235-243．

［13］Lan H Y，Huang N J，Cho Y J．New iterative approximation for a system of generalized nonlinear variational inclusions with set-valued mappings in Banach spaces［J］．J Math Inequal Appl，2006，9(1)：175-187．

［14］Yang Y Q，Jin M M，Ling F．A new system of generalized nonlinear set-valued variational inclusions in Banach spaces［J］．Math Inequal Appl，2009，16：81-91．

［15］Lan H Y．Sensitivity analysis for generalized nonlinear parametric(A，η，m)-maximal monotone operator inclusion systems with relaxed cocoercive type operators［J］．Nonlinear Analysis：TMA，2011，74(2)：386-395．

［16］Xu H K．Inequalities in Banach spaces with applications［J］．Nonlinear Anal TMA，1991，16(12)：1127-1138．

［17］Ding X P，Feng H R．The p-step iterative algorithm for a system of generalized mixed quasi-variational inclusions with(A，η)-accretive operators in q-uniformly smooth Banach spaces［J］．J Comput Appl Math，2008，220(1/2)：163-174．

［18］Fang Y P，Huang N J．Iterative algorithm for a system of variational inclusions involving H-accretive operators in Banach spaces［J］．Acta Math Hungar，2005，108(3)：183-195．

［19］Ding X P．Generalized quasi-variational-like inclusions with nonconvex functionals［J］．Appl Math Comput，2001，122(3)：267-282．

［20］趙亞莉，錢偉懿，白乙拉．廣義似變分不等式解的存在性和算法［M］．大連：大連理工大學出版社，2008．

［21］Ahmad R，Siddiqi A H，Khan Z．Proximal point algorithm for generalized multivalued nonlinear quasi-variational-like inclusions in Banach spaces［J］．Appl Math Comput，2005，163(1)：295-308．