不可微非線性方程的修正牛頓迭代法的收斂性分析*

金皓蘋， 徐秀斌

(浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江金華 321004)

0 引言

令F是Banach空間X到Y(jié)的非線性算子，考慮如下一般的非線性方程：

求解非線性方程(1)的近似解是一個(gè)重要的問題，因?yàn)榇罅康牟煌愋偷膶?shí)際問題都可歸結(jié)為對(duì)非線性方程的求解．例如，微分方程、邊界值問題、積分方程等．目前，在F是Fréchet可導(dǎo)的條件下，牛頓法是求解非線性方程(1)的最有效方法之一，其迭代式為(初始點(diǎn)x0給定)

關(guān)于牛頓迭代法收斂性的研究目前已有許多，如文獻(xiàn)［1-3］等．然而，當(dāng)F不可導(dǎo)時(shí)，牛頓迭代法就不能再用來解非線性方程．對(duì)于F不可導(dǎo)情形的修正牛頓迭代的研究，主要?dú)w結(jié)為當(dāng)F'(x)不存在時(shí)用什么來代替的問題．諸多文獻(xiàn)考慮將F分解為可導(dǎo)部分H和不可導(dǎo)部分G，即

如文獻(xiàn)［4-5］利用

對(duì)方程(1)進(jìn)行求解．

另外，文獻(xiàn)［6-7］采用弦割法，用差商代替F'，利用

迭代對(duì)方程(1)進(jìn)行近似求解，其中初始點(diǎn)x0，x-1給定．因?yàn)閷?duì)G的限制，式(4)一般只能保持線性收

文獻(xiàn)［8］將以上2種迭代方法結(jié)合起來，構(gòu)造了新的迭代式

最近，文獻(xiàn)［9］又利用差商［yn，xn;G］代替［xn-1，xn;G］，其中 yn=λxn+(1- λ)xn-1，λ∈［0，1］，并提出了修正的牛頓變形公式

式(7)中，x-1，x0∈D已知．此迭代推廣了迭代法(6)．文獻(xiàn)［9］利用ω條件證明了其半局部收斂性并給出收斂定理．本文主要目的是引入L-平均Lipschitz條件，并使用優(yōu)序列的方法分析式(7)的收斂性．下面總設(shè)X，Y為Banach空間，且F=G+H，其中H和G如式(3)定義，H為一階Fréchet可導(dǎo)，G為連續(xù)但不可導(dǎo)函數(shù)．

1 引理

首先給出幾個(gè)重要的引理，然后在這些引理的基礎(chǔ)上證明修正牛頓迭代法式(7)的半局部收斂性、誤差估界及解的唯一性．

引理1 設(shè)優(yōu)函數(shù)

式(8)中，L(u)和l(u)為非負(fù)非減可積的連續(xù)函數(shù)．記

而

則方程f(t)=0有2個(gè)正根r1，r2，顯然有r1＜R＜r2．引理1證畢．

引理2 設(shè)迭代序列{tn}滿足

式(10)中，h(t)，g(t)由式(8)定義．則{tn}單調(diào)遞增收斂到 r1．

證明 當(dāng) n=0 時(shí)，t1-t0=-(h'(t0)+［s0，t0;g］)-1(h(t0)+g(t0)) ＜ β．由 h(r1)+g(r1)=0，并根據(jù)式(8)，得 β＜ r1，則 t0＜t1＜r1．現(xiàn)假設(shè) tk＜tk+1＜r1對(duì) k≤n都成立．

當(dāng)k=n+1時(shí)，

則由優(yōu)函數(shù)表達(dá)式有：當(dāng) s，t∈(0，R)時(shí)，

當(dāng) t∈［0，r1)時(shí)，h(t)+g(t) ＞0．則由式(11)得 tn+1＜tn+2．因此，由歸納假設(shè)得{tn}單調(diào)遞增．記 I(t)=t-(h'(t)+［s，t;g］)-1(h(t)+g(t))，顯然 I(t)在［0，R)上是單調(diào)遞增的，則 tn+1＜ tn+2=I(tn+1)≤I(r1)=r1．所以{tn}有極限，不妨記為 t*，顯然 t*∈(0，r1］．現(xiàn)在證明 t*=r1．對(duì)迭代式

兩邊取極限，得h(t*)+g(t*)=0，即t*=r1．綜上所述，{tn}單調(diào)遞增收斂到r1．引理2證畢．

引理3 假設(shè)下列條件成立：

證明 當(dāng)n=0時(shí)，以上5個(gè)結(jié)論顯然成立．現(xiàn)設(shè)它們從0到n都成立，則根據(jù)條件2)和3)有

所以，根據(jù)Banach引理知A－1n+1存在，且結(jié)論2)成立．由迭代式(7)得

所以，根據(jù)條件3)和4)得

因此，結(jié)論3)對(duì)n+1成立．

根據(jù)結(jié)論1)，2)和3)可得

則結(jié)論4)對(duì)n+1成立．

由結(jié)論4)得

所以，結(jié)論5)對(duì)n+1成立．引理3證畢．

2 半局部收斂性

下面給出迭代算法(7)的半局部收斂性定理，并加以證明．

顯然

所以A-1存在．故x*=y*．定理1證畢．

3 應(yīng)用

當(dāng)G=0時(shí)，迭代式(7)就是牛頓迭代式．下面選擇特殊的L和l對(duì)迭代式進(jìn)行討論．

推論1 對(duì)于常數(shù) γ ＞0，0≤c＜1，取

此時(shí)函數(shù)H和G滿足

其中：

結(jié)合迭代式(10)，易得

類似可得

因此

從而

引理5證畢．

結(jié)合定理1和以上引理，可得到定理2．

并滿足

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