一種基于非線性最小二乘的空間后方交會算法

余岸竹，姜 挺，江剛武，羅 勝，劉建輝

(信息工程大學地理空間信息學院，河南鄭州450052)

一、引 言

攝影測量學中經典的空間后方交會算法是通過對成像時刻攝站的位置、姿態的近似值在一定的坐標系下描述后，對共線條件方程進行線性化，并結合一定數量的地面控制點及其像點，利用線性最小二乘平差方法迭代求解[1]。該解法的前提條件是給定的近似值與真值十分接近，在一定的精度下可以使用泰勒展開的一次項近似代替原始的非線性模型。當初值與真值差距較大時，該方法會帶來一定的模型誤差，甚至出現迭代不收斂的情況。如何提高后方交會的精度一直攝影測量定位中的一個熱點問題[2-4]。為降低線性化帶來的影響，本文結合非線性平差模型，提出一種基于非線性最小二乘的空間后方交會算法，通過試驗驗證該方法的有效性。

二、基于非線性最小二乘的空間后方交會原理

1．非線性最小二乘平差方法

非線性最小二乘平差方法與傳統的最小二乘平差方法有類似的目標函數。設 ^X表示待求參數的估計值，V表示改正數，L表示觀測值向量，則原始誤差方程可寫為

式中，f為一非線性函數模型。最小二乘法解算方法是在(1)的條件下，答解目標函數[6]

式(2)可進一步化簡為

由于式(3)中f是一個非線性函數，因此根據矩陣求導的鏈式法則[7]可知

2．數學模型

使用歐拉角描述攝站姿態時，空間后方交會待答解的外方位元素矢量為 M=(Xs，Ys，Zs，φ，ω，κ)T，則共線條件方程可表示為[1]

式中，(x0，y0，f)為像片的內方位元素;(x，y)表示像點坐標;(X，Y，Z)為像點對應的地面點坐標;參數ai，bi，ci是由(φ，ω，κ)組成的旋轉矩陣對應的元素。

令

將上式代入式(3)可得

設M(0)為 M的一個近似值，即 M=M(0)+d M(0)。當觀測誤差滿足高斯-馬爾可夫條件時，可假定權矩陣P為單位矩陣，此時，將函數F(M)在M=M(0)處泰勒展開至二次項得

式中，g(0)和H0分別是F(M)是M=M(0)的梯度矢量與Hessian矩陣，其表達式為

及

式中，Mi(i=1，2，…，6)是外方位元素矢量M的第i個元素。為了求得使式(8)最小的d M(0)，將該式對d M(0)求偏導并令其等于零，得

當H0滿秩時，可以求出

則

將 ^M作為新的近似值M進行迭代答解，直到‖d M(0)‖小于給定的閾值，即可求得非線性最小二乘法則下 ^M的最優值。

三、試驗結果與分析

為了非線性最小二乘答解空間后方交會的有效性，并與經典的后方交會算法進行對比，使用文獻[2]中鄭州某地區的真實影像數據進行試驗，其具體參數如表1所示，控制點分布情況如圖1所示，控制點具體坐標如表2所示。

表1 航空影像參數

圖1 控制點分布略圖

表2 實際地面控制點m

利用本文提出算法、文獻[2]算法與經典算法分別對真實影像進行空間后方交會，初始值按照文獻[9]中給定的空間后方交會初值選取，結果如表3所示。

表3

從表3的解算結果可以看出，基于非線性最小二乘的解算方法、基于四元數的算法和傳統方法的解算精度相當，最大線元素之差約為0．016 m，最大角元素之差約為0．001°，驗證了本文算法的有效性。

四、總 結

空間后方交會是攝影定位中的關鍵步驟。為減少由線性化帶來的模型誤差，本文提出了基于非線性最小二乘的空間后方交會算法，并使用真實影像數據證實了提出算法的有效性，可以與傳統算法和基于四元數的算法達到相當的精度。然而還有以下問題需要進行進一步研究：

1)答解優化問題過程中，需要求解Hessian矩陣，其求解計算復雜度較大，降低了答解的效率，如何對算法進行優化需要深入研究。

2)僅驗證了該算法在近似垂直攝影情況下的有效性，而在不同傾角、不同航高的成像條件下的收斂性需要深入探討。

3)文獻[10]中證明了非線性最小二乘解算結果既不是真值的無偏估計量也不是最小方差有偏估計量。因此，如何改進估計量的統計性質是進一步研究的方向之一。

[1]WANG Zhizhuo．The Principles of Photogrammetry[M]．Beijing：Press of Surveying and Mapping，1990．

[2]龔輝，姜挺，江剛武，等．一種基于四元數的空間后方交會全局收斂算法[J]．測繪學報，2011，40(5)：639-645．

[3]Jl Qiang，MAURO SC，ROBERT M H，et a1．A Robust Linear Least-squares Estimation of Camera Exterior Orientation Using Multiple Geomatric Features[J]．ISPRS Journal of Photogrammetry and Remote Sensing．2000，55：75-93．

[4]FIORE PD．Efficient Linear Solution of Exterior Orientation[J]．IEEE Transactions on PAMI，2001，23(2)：140-148．

[5]王新洲，陶本藻，邱衛寧，等．高等測量平差[M]．北京：測繪出版社，2006．

[6]隋麗芬，宋力杰．誤差理論與測量平差基礎[M]．北京：解放軍出版社，2004．

[7]張賢達．矩陣分析與應用[M]．北京：清華大學出版社，2004．

[8]馬昌鳳．最優化方法及其Matlab程序設計[M]．北京：科學出版社，2010．

[9]張保明，龔志輝，郭海濤．攝影測量學[M]．北京：科學出版社，2008．

[10]王新洲．非線性模型參數估計理論與應用[M]．武漢：武漢大學出版社，2002．