模糊度降相關應用中的整數正交化過程研究

范 龍，翟國君，柴洪洲

(1．信息工程大學地理空間信息學院，河南鄭州450052;2．海軍海洋測繪研究所，天津300061)

一、引 言

GNSS定位應用中，整周模糊度能否正確解算是獲得高精度位置結果的關鍵。模糊度解算技術經過多年的發展大體上可分為基于觀測域、基于位置域和基于模糊度域等3個大類。其中，基于模糊度域的模糊度解算方法，近年來得到了廣泛的研究與應用。該類方法首先在忽略模糊度整數約束的情況下獲得其實數解，但由于實數解之間存在相關性，所以對實數解直接取整的方法不能獲得正確模糊度值，需要基于實數解及其協方差矩陣構造相應的搜索空間對模糊度的整數解進行搜索，最后對所有整數候選值進行確認檢驗，從而得到最終的模糊度整數解。當各實數解之間相互獨立時，基于實數解及其協方差矩陣構造的搜索空間呈標準的球體，然而由于相關性的存在，其搜索空間實為橢球體，并且相關性越強，橢球體的形狀越扁長。模糊度搜索的效率和成功率受到搜索空間形狀的影響，甚至可能造成搜索固定失敗。為保證效率和成功率，在模糊度搜索之前需要對實數解進行降相關變換。文獻[1]基于整數高斯變換，提出了LAMBDA算法;文獻[2]對LAMBDA算法的整個過程進行了詳細介紹，并提出了系統配對的策略來構造Z變換矩陣;文獻[3-4]提出了基于Cholesky分解的模糊度降相關算法;文獻[5]提出了多次整數三角分解降相關的方法;文獻[6]提出了用遞歸的方法直接最小化轉換矩陣的對角線元素的方法;文獻[7]提出了對模糊度協方差矩陣的對角線元素進行排序的降相關算法。以上幾種算法均是利用數學領域中的矩陣變換算法，使模糊度協方差矩陣能夠盡可能地對角化。文獻[8]將數學領域中為解決格理論的相關問題而提出的著名的LLL規約算法進行了轉化，并將其應用到模糊度降相關中;文獻[9]對整數高斯變換、整數Cholesky分解及LLL算法進行了分析比較;文獻[10]針對LLL降相關算法在取整過程中會引入較大的舍入誤差的問題，提出了基于矩陣整體進行取整的改進的LLL算法;文獻[11]提出了基于修正的Gram-Schmidt正交化(MGS)變換[12]的 LLL 算法。

LLL算法通過利用整數GS正交變換對模糊度矩陣進行降相關處理，本文對該算法的正交變換過程進行了分析，并依照標準的GS正交變換過程，指出了LLL算法采用的正交變換過程在降相關應用中會在舍入誤差的基礎上引入新的誤差，且該誤差會隨著算法的迭代而累積，最終甚至可能造成降相關失敗。為此，本文依照標準GS變換，對LLL算法的整數正交變換過程進行了改進，利用隨機模擬的數據進行了計算分析，結果表明對整數正交變換過程改進后，LLL算法的降相關效果有了明顯的改善，并且變換后的協方差矩陣更加有利于模糊度的搜索固定。

二、LLL降相關中整數正交化過程的分析與改進

對于通用GNSS定位模型

式中，L為觀測向量;A為位置參數的設計矩陣;x為三維的位置、大氣延遲等未知的改正參數;a為模糊度參數;B為其相應的系數矩陣。考慮觀測值權矩陣為P，在取消模糊度向量a的整數約束的情況下，利用標準的最小二乘平差，可得其實數解 ^a，及其相應的方差陣

式中，χ2是人為設定的，該值會影響到搜索空間的大小，而模糊度實數解的方差陣則會影響到搜索空間的形狀，實數解之間較強的相關性，使得搜索空間又扁又長，影響到模糊度的搜索效率，甚至搜索不到整數值[1]。為改善這種情況，可以對模糊度的實數解進行一系列變換，降低它們之間的相關性。為了保證轉換過程中的整數特性及搜索空間大小的不變性，要求變換矩陣的所有元素必須是整數，且逆矩陣也是整數即變換矩陣的秩為1，同時經過變換后模糊度的方差必須變小[1，9，13]。

為了使Q^a能夠對角化，需要通過變換使得H矩陣的列向量之間能夠相互正交。LLL算法基于Gram-Schmidt正交化的方法進行處理，利用該正交化算法可將矩陣變換為列向量之間相互的矩陣假設H矩陣的前k-1個向量已經進行了正交變換，得到，則 hk首先與 q1進行正交化變換

為了保證變換過程不破壞模糊度未知參數的整數特性，LLL算法中的整數正交化變換，對式中系數tik直接取整，采用如下式所示的過程進行處理

其相當于在取整引入舍入誤差的基礎上，又引入了新的誤差ε3

該誤差是由于經過整數GS變換后的向量之間不能完全正交而引起的。隨著對其余向量逐一進行正交變換，該誤差還會累積，越往后影響越大。這就說明在構造整數正交變換過程中，應當依據標準GS正交變換的原理，對于每個向量，應采用如下式所示的正交化過程。對于k=2，3，…，n

三、計算分析

由于每一對模糊度未知參數都對應一組觀測值及相應的衛星和測站之間的幾何結構，若只用一個模糊度實數解的方差協方差矩陣來進行計算分析，就會陷入到該特殊情況之中，由該例子反映出的每種方法降相關方法的優劣，不具有絕對的說服力。為不失一般性，本文采用隨機模擬的方法計算出模糊度實數解的協方差矩陣，分別利用LLL降相關算法和整數正交化過程經過改進的LLL算法進行計算分析。

筆者模擬了100組模糊度協方差矩陣，為了顯示各算法的降相關效果，以降相關變換前后的平均相關系數γ和條件數c作為依據，通過降相關變換可得如圖1所示的結果。

圖1 變換前后的平均相關系數和條件數

圖1中左邊為平均相關系數的變化，右邊為條件數的變化。由相關定義可知，平均相關系數反映實數解之間的平均相關性，該值越接近1說明相關性越強。如圖1所示，未進行降相關變換之前，原始協方差矩陣的平均相關系數基本都在0．5～1的范圍內變化，說明原始協方差矩陣具有較強的相關性，同時矩陣的條件數也很大，在1．0e4～1．0e6的范圍變化，矩陣呈現出病態性。經過變換后無論平均相關系數還是條件數都有所改善，從圖1中可以看出對于這100組數據，改進算法對于兩種指標的改善效果明顯優于未改進的算法。通過計算，所有數據相關指標的均值見表1。

表1 平均相關系數及條件數的均值

為了進一步驗證本文所提算法對于模糊度搜索固定的貢獻，筆者從中選取了5組數據，在分析其平均相關系數和條件數變化的基礎上，計算其相應的 Bootstrapping算法的成功率[4]，結果見表2。

表2 條件數、相關系數及Bootstrapping成功率的統計

由表2中可以看出模擬的協方差矩陣的相關性很強，從而導致Bootstrapping算法的成功率很低。經過未改進的正交化算法雖然能夠改善矩陣的相關性，但是在某些歷元由于舍入誤差的累積的影響，其降相關的效果不理想，處理后的Bootstrapping成功率雖然有所提高，但是仍不能滿足100%成功的要求;改進后的算法無論在平均相關系數還是條件書的改進方面都優于未改進時的情況，其Bootstrapping算法可達到100%的成功率。

四、結 論

本文依照標準的GS正交化過程對LLL降相關算法中的整數正交變換的過程進行了分析，針對算法在變換過程會造成取整舍入誤差累積的情況進行了改進，通過比較分析得出如下結論：

1)LLL算法中整數正交變換的向量正交化過程，在取整舍入誤差的基礎上還會受到向量之間不能完全正交而引起誤差的影響，該誤差隨著正交化的進行會逐漸累積，最終影響降相關的效果。

2)在對該誤差分析的基礎上，依據標準的GS正交化過程，對向量的整數正交化變換過程進行了改進，通過對模擬數據的計算比較，驗證了改進的正交化過程能夠較好地改善LLL算法降相關效果不佳的問題。

[1]TEUNISSEN P．The Least-squares Ambiguity Decorrelation Adjustment：a Method for FastGPS Integer Ambiguity Estimation[J]．Journal of Geodesy，1995，70(1-2)：65-82．

[2]JONGE P，TIBERIUSC．The LAMBDA Method for Integer Ambiguity Estimation：Implementation Aspects[R]．Delft：Delft University of Technology，1996．

[3]TEUNISSEN P．A New Method for Fast Carrier Phase Ambiguity Estimation[C]∥ Proceedings of IEEE PLANS’94．Las Vegas：[s．n．]，1994：562-573．

[4]周揚眉，劉經南，劉基余．回代解算的LAMBDA方法及其搜索空間[J]．測繪學報，2005，34(4)：300-304．

[5]HAN S．A New Method for Constructing Multi-satellite Ambiguity Combinations for Improved Ambiguity Resolution[C]∥Proceedings of ION GPS-95．[S．l．]：Palm Springs，1995：1145-1153．

[6]LIZ，GAO Y．A Method for Construction of High Dimension Transformation Matrices in LAMBDA[J]．Geomatica，1998(52)：433-439．

[7]LIU L T，HSU H T，ZHU Y Z，et al．A New Approach to GPSAmbiguity Decorrelation[J]．Journal of Geodesy，1999，73(9)：478-490．

[8]GRAFAREND E．Mixed Integer-real Valued Adjustment(IRA)Problems：GPS Initial Cycle Ambiguity Resolution by Means of the LLL Algorithm[J]．GPSSolutions，2000，4(2)：31-44．

[9]XU Peiliang．Random Simulation and GPSDecorrelation[J]．Journal of Geodesy，2001，75(7-8)：408-423．

[10]劉志平，何秀鳳．改進的GPS模糊度降相關LLL算法[J]．測繪學報，2007，36(3)：286-289．

[11]楊榮華，花向紅，李昭，等．GPS模糊度降相關LLL算法的一種改進[J]．武漢大學學報：信息科學版，2010，35(1)：21-24．

[12]張賢達．矩陣分析與應用[M]．北京：清華大學出版社，2004．

[13]TEUNISSEN P．The Invertible GPSAmbiguity Transformations[J]．Manuscripta Geodaetica，1995(20)：489-497．

[14]HATCH R，EULER H J．Comparison of Several AROF Kinematic Techniques[C]∥Proceedings of IEEE Symposium on Position，Location and Navigation．Salt Lake City：IEEE，1994：363-370．

[15]FREIE，BEUTLER G．Rapid Static Positioning Based on the Fast Ambiguity Resolution Approach“FARA”Theory and First Results[J]．Manuscripta Geodaetica，1990(11)：325-356．

[16]TEUNISSEN P．The Success Rate and Precision of GPS Ambiguities[J]．Journal of Geodesy，2000，74(3-4)：321-326．

[17]TEUNISSEN P，JONG P，TIBERIUSC C．The Leastsquares Ambiguity Decorrelation Adjustment：Its Performance on Short GPSBaselines and Short Observation Spans[J]．Journal of Geodesy，1997，71(10)：589-602．

[18]LENSTRA A K，LENSTRA H W，LOVASZ L．Factoring Polynomials with Rational Coefficients[J]．Mathe matische Annalen，1982，261(4)：515-534．

[19]趙韜，姜金榮．分塊Gram-Schmidt正交化算法及其應用[J]，中國科學院研究生院學報，2009，26(2)：224-229．

[20]JALBYW，PHILIPPEB．Stability Analysis and Improvement of the Block Gram-Schmidt Algorithm[J]．SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing，1991，12(5)：1058-1073．

[21]STATHOPOULOS A，WU Keskeng．A Block Orthogonalization Procedure with Constant Sysnchronization Requirements[J]．SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing，2002，23(6)：2165-2182．

[22]劉志平，何秀鳳，郭廣禮，等．GNSS模糊度降相關算法及其評價指標研究[J]．武漢大學學報：信息科學版，2011，36(3)：257-261．