基于某種無陀螺慣性測量單元的安裝誤差補償*

劉 濤，趙國榮，徐珂文

(海軍航空工程學院，山東煙臺 264001)

0 引言

無陀螺捷聯慣導系統(gyroscope free strap-down inertial navigation system)是僅利用線加速度計來完成慣性測量與導航任務的導航系統，避免了使用工藝復雜的陀螺儀，具有低成本、低功耗、長壽命和高可靠性等優點，特別適用于大動態范圍、導航時間短的載體。系統的運動解算全部來源于加速度計的輸出，理論分析和試驗表明，加速度計的安裝誤差對系統精度的影響十分顯著，不容忽視[1－4]。文中針對一種具有代表性的九加速度計配置方案，分析了加速度計的安裝誤差，研究了實驗標定方法和誤差的補償方案，并通過仿真驗證了其有效性。

1 加速度計輸出模型

由加速度計的比力方程:

得到加速度計位置的3個軸向比力向量fb為:

其中:

設加速度計的敏感方向為θ，則加速度計的輸出為:

2 配置方案及角速度解算方法

圖1為一種具有一定代表性的九加速度計配置方案，其加速度計的位置矩陣和方向矩陣分別為:

其中，l為非原點處加速度計到原點的距離，由式(1)得到加速度計輸出方程為:

文獻[5－6]分別運用開方法、輔助算法、Kalman濾波和智能加權算法進行角速度的解算，其中智能加權算法的解算精度最高。但在解算過程中都未考慮加速度計的安裝誤差，而將加速度計安裝在載體上，不可避免的存在安裝誤差，包括位置誤差和方向誤差，特別是本方案中需要將多個加速度計安裝在同一個理論點上。

3 安裝方向誤差分析及標定

方向誤差可以通過坐標旋轉來表示，如圖2所示，θ和θr分別表示加速度計的理想和實際安裝方向，Δα和Δβ為方向誤差角[7]，其正負符號規定為:逆時針旋轉為正，順時針旋轉為負，則:

其中C1、C2分別為兩次坐標旋轉的坐標變換陣。

方向誤差向量:

圖2 安裝方向誤差示意圖

其中I為單位陣。

標定方案:將慣性系統放置在旋轉臺上，分別以oxy、oyz、oxz為水平面，進行靜態條件(線運動和角運動都為0)實驗，得到加速度計的輸出值A(mn)ri，m=1，2或3，分別表示以oxy、oyz、oxz為水平面，n=1，表示轉臺靜態條件，i代表加速度計的序號。此時加速度計的輸出值為重力加速度在其敏感方向的分量，即:

由3次實驗結果得到加速度計的方向誤差角，從而得到方向誤差向量。以加速度計1為例求解方向誤差向量 Δ θ1。

得到:

由式(10)得:

表1列出了各加速度計方向誤差角的計算公式，表2列出了方向誤差向量。

表1 各加速度計的方向誤差角計算公式

表2 各加速度計的方向誤差向量

4 安裝位置誤差分析及標定

4.1 安裝位置誤差標定方案

加速度計的安裝位置誤差可由其坐標投影來表示，如圖3，以加速度計2為例，P點為加速度計的理想安裝位置，P'點為加速度計的實際安裝位置，Δl為安裝位置誤差向量，其在各坐標軸的投影為[Δlx，Δly，Δlz]。

圖3 安裝位置誤差示意圖

標定方案:將慣性系統放置在旋轉臺上，分別以oxy、oyz、oxz為水平面，進行勻速旋轉(ω = ω0)條件下的實驗，得到加速度計的輸出值A(mn)ri，其中n=2，表示轉臺勻速條件。由式(3)可以得到勻速轉動時的加速度計輸出為:

式中采用方向誤差實驗中得到的實際敏感方向，根據3次測量值就可以得到三元方程組 f(Δlx，Δly，Δlz)，從而計算出每個加速度計的安裝位置誤差。

4.2 方案改進

為了提高標定精度，減小隨機誤差的影響，實驗中對旋轉臺轉速ω0進行j次取值，這樣每個加速度計就可以得到m個實驗輸出值(m=3j)，得到三元方程組 f(Δlx，Δly，Δlz)，從而進行 Δlx、Δly、Δlz的求解。

對式(15)進行分離 Δlx、Δly、Δlz操作:

其中:

由于B1、B2、B3均為一維矩陣，即為數值形式，其轉置形式不變，因此得到:

其中:

由m個這樣的方程組成的方程組為:

即:

其中ωm為第m次實驗轉臺的轉速。

可以看出，矩陣方程(20)的獨立方程個數m ＞3，屬于超定矩陣方程。本方程的形式滿足線性方程Ax=b，而數據向量 b含有觀測數據向量，存在測量誤差，并且其和系數矩陣A都包含了已經計算得到的加速度計敏感實際方向θr，也存在一定的計算誤差，可以作為噪聲項，且兩者不相關。求解這種系數矩陣A和數據向量b都存在誤差的超定方程的最佳方法是總體最小二乘法。

4.3 總體最小二乘法

對于超定方程Ax=b，總體最小二乘法不僅用擾動向量e去干擾數據向量b，而且用擾動矩陣E同時干擾數據矩陣A，以便校正在A和b二者內存在的擾動。考慮矩陣方程:

可以寫為:

其中，增廣矩陣 B = [－b，A]，擾動矩陣 D=[－ e，E]。

對增廣矩陣B進行奇異值分解，令:

此時，如果增廣矩陣B的最小奇異值多重(往往表現為最后幾個奇異值重復或者非常接近)，假設有n+1－p個最小奇異值(p≤n+1)，則矩陣方程會有p個總體最小二乘解。然而，可以找出在某種意義下唯一的最小二乘解，包括最小范數解和最優最小二乘近似解。

文中希望得到的是矩陣方程式(20)的所有未知參量，即最小范數解:

其中，向量v1是矩陣V列分塊形式的第一行，具體求解步驟見文獻[8]。

5 安裝誤差補償

由于加速度計安裝誤差的存在，不能將實際的輸出Ar代入公式解算角速度，而應該進行補償，消除其中的安裝誤差:

由式(3)和式(15)得到:ΔA=Ar－ A=

補償過程中，ΔA中所涉及的V、˙V、ω、˙ω均采用上一時刻的解算值。圖4為補償方案的流程圖。

圖4 補償方案示意圖

6 算例仿真

借 助某型導彈前40s的飛行數據進行仿真實驗，圖 5為其飛行軌跡 圖。 設加速度計的精度為5×10－6g，隨機噪聲為10－5g，仿真步長為0.01s，l=0.3m，加速度計的位置誤差矩陣和方向誤差矩陣為:

圖5 某型導彈運行軌跡

利用智能加權算法對角速度進行解算，以x方向為例，圖6分別給出了對安裝誤差補償前后的角速度解算誤差曲線，表3為解算誤差數據，圖7為安裝誤差補償前后的東向導航誤差。

圖6 安裝誤差補償結果對比圖

從仿真結果可以看出，如果不對安裝誤差進行補償，角速度解算誤差和導航誤差較大。利用文中的補償方案，x軸向角速度解算精度提高明顯，而東向導航誤差最大值也由3.2987m減小到了0.3454m，效果顯著。

圖7 東向導航誤差

表3 安裝誤差補償前后誤差數據

7 結論

加速度計的安裝誤差對無陀螺慣性測量系統精度的影響十分顯著，不容忽視，利用文中的標定和補償方案，實現簡單，可以有效的提高角速度的解算精度和系統的導航精度。

[1]馬澍田，陳世有，李艷梅.無陀螺捷聯慣導系統[J].航空學報，1997，18(4):484－488.

[2]T L Chen.Design and analysis of a fault-tolerant coplanar gyro free inertial measurement unit[J].Journal of Micro-electromechanical Systems，2008，17(1):201 －212.

[3]Kourosh Parsa，TyA Lasky.Design and implementation of a mechatronic all-accelerometer inertial measurement unit[J].ASME Transactions on Mechatronics，2007，12(6):640－650.

[4]Chin-Woo Tan，Sungsu Park.Design of accelerometer-based inertial navigation systems[J].IEEE Transcations on Instrumentation and Measurement，2005， 54(6):2520－2530

[5]趙國榮，陳穆清.一種用于九加速度計GFSINS的姿態角速度輔助算法[J].系統仿真學報，2007，19(14):3350－3353.

[6]劉濤，趙國榮，潘爽.無陀螺捷聯慣導系統角速度解算的新方法[J]系統工程與電子技術，2010，32(1):22－25.

[7]汪小娜，王樹宗，朱華兵.無陀螺捷聯慣導系統加速度計安裝誤差研究[J].兵工學報，2008，29(2):159－163.

[8]張賢達.矩陣分析與應用[M].北京:清華大學出版社，2004:401－436.