中小型固體火箭發動機噴管擴張比尋優算法*

張久云，杜國秀，齊子鳳

(中船重工第710研究所，湖北宜昌 443003)

0 引言

固體發動機作為動力推進裝置在各類箭彈中被廣泛應用，產品研制階段，總體對動力分系統提出設計要求，包括總沖量、工作時間及質量與尺寸限制等。發動機設計的目標就是根據設計輸入進行初步設計、迭代優化，設計一型高質量的發動機，使自身性能達到最優。

應用發動機設計程序與方法，依據箭彈總體要求經過初步設計之后，發動機部分設計參數可得以固化，如燃燒室的工作壓強和內徑、噴喉尺寸、裝藥類型等。然而噴管擴張比等參數在此階段卻無法確定，由于沒有現成的數學模型和具體可用的、“性價比”較高的算法，目前對擴張比的選取往往憑設計經驗或參考同類產品在4～10之間選取，具有隨意性和盲目性。

擴張比等參數對發動機的整體性能又有重要影響，因此設計發動機時，噴管擴張比究竟如何計算和確定，需進行優化設計。

1 算法數學模型

發動機設計涉及諸多參數，關系復雜，其優化設計是一個有約束的非線性規劃問題，其數學描述是:求設計變量 X=(x1，x2，…，xn)T，使得目標函數F(X)為最大。

質量比沖(或稱沖質比)是衡量發動機性能的重要指標，因此將沖質比設為目標函數，通過對發動機噴管擴張比進行優化設計而使發動機沖質比最大。

由理論分析和工程試驗可知，在設計中小型固體發動機時，噴管采用欠膨脹設計。在此情況下，若噴管擴張比增大，則噴管擴張段質量增加。但由于推進劑比沖隨之增大，在總沖不變的前提下，發動機裝藥量減少。同時因裝藥體積減小使燃燒室殼體質量隨之降低，因此，若同時考慮裝藥比沖和結構重量的因素，必然存在一個最優膨脹比ε*，能使發動機沖質比最大。或者說，在總沖一定時，ε*能使發動機質量最小。

據此建立了數學模型和優選算法，發動機設計過程中，若確定部分設計參數之后，應用此算法即可求得最優擴張比ε*。

發動機沖質比為:

式中:mp表示推進劑質量;mc表示燃燒室質量;mn表示噴管質量;mig表示點火具質量;mhp表示封頭等質量;mac表示擋藥板等附件質量[1]。

一般情況下，總沖由總體根據箭彈應用給定。按固體火箭發動機總體設計方法經過一輪初步設計后，mig、mhp、mac三者之值基本確定，在后續優化設計過程中變化甚微，可按固定值處理，發動機總質量僅隨著燃燒室、噴管和推進劑三者質量改變而變動。下文將建立數學模型，直接表示三者質量與噴管擴張比的函數關系，繼而用復合形法(此時參量轉化為一維)尋求最優擴張比值。

1.1 噴管質量模型

噴管擴張比的大小影響著發動機的比沖、結構質量和總體性能，因此是發動機的一個重要設計參量。

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中小型固體發動機多采用錐形直噴管或采用多段二次、三次曲線擬合的勞(Lao)噴管[2]。為便于研究，文中將噴管總重量細分為三部分:噴管收斂段質量mnb，噴管喉部過渡段質量mnt，噴管擴張段質量mna。

若燃燒室壓強pc、噴喉直徑dt和噴管基本結構形式在初步設計和依照總體要求確定之后，mnb、mnt可視為定值。噴管質量隨著擴張比的變化而變化，建立噴管擴張段質量模型，擴張段質量表示為擴張比的函數(以擴張段起始截面與噴管軸線為基準建立R-X坐標系，如圖1，根據內型面曲線方程可知擴張段內任意截面上的半徑尺寸R=R(x))。

圖1 噴管擴張段結構示意

現以中小型發動機和助推器常采用的錐形直噴管為例示意計算的方法。

在錐形直噴管設計中，擴張段采用漸變式壁厚設計。噴管擴張段入口和出口的厚度δ根據所選材料、熱防護、壓力載荷、熱載荷因素進行工程估算，并認為厚度從入口到出口均勻變化。將擴張段沿軸向進行微分，每一小段可視為圓環。

則錐型噴管擴張段質量關系式為:

1.2 裝藥質量模型

噴管擴張比的變化不僅引起其擴張段質量變化，由于改變了噴管性能、膨脹比和出口壓力，對推進劑的比沖和推力系數也產生影響。由噴管理論可知，pe/pc是ε的單值函數，即

式中:γ為燃氣比熱比;Γ是比熱比的函數。

若將某一定值賦給擴張比，用數值計算方法中的二分法編程計算或直接以Matlab符號命令fsolve即可解非線性方程(4)求取值，即pe/pc，由于低空中小型發動機擴張比一般小于10，數值計算時，可將求解域設為(0.01，0.564)。繼而由式(5)即可計算該擴張比下對應的裝藥質量。

式中:α表示噴管效率，是擴張比和擴張角的函數，對于所選定的推進劑，γ為已知量，pa≈0.1MPa，故在此情況下，裝藥質量是擴張比函數，mp=mp(ε)。

1.3 燃燒室質量模型

燃燒室的質量細分為固定質量mfix和隨動質量malt兩部分。

初步設計確定了燃燒室壓強和直徑，燃燒室有一部分結構(如與封頭或其它部件間的連結或支撐結構)隨之基本確定，這部分結構的質量即為固定質量mfix。同時燃燒室作為容納裝藥的殼體，若推進劑體積發生變化，則其容納藥柱的那部分結構的質量也隨之改變，此處稱之為隨動質量。

參照金屬筒體壁厚的計算方法，由材料力學中的最大應力強度理論，隨動質量可處理為裝藥長度(Lp)的函數。

在確定pc、dt情況下，對于選定推進劑，由內彈道計算公式可知，須將燃喉比KN值固定，即裝藥燃面不因裝藥量的變化而改變。在此前提下，可根據發動機內彈道各參數計算式獲得方程組(7)。

現以中近程火箭彈常用的管型裝藥為例，示意計算Lp的方法。

上式中，裝藥質量由式(5)已求，經初步設計已經確定裝藥形式和燃燒室直徑等參數，則裝藥根數和藥柱外徑為已知值。方程組(8)實為藥柱長度Lp和藥柱內徑d的二元二次非線性方程組，此方程組是閉合的。用牛頓迭代法編程計算 Function[d，Lp]=Newton_Lp(f，[d0，Lp0]，e)或 Matlab 的 符 號 命 令fsolve求取藥柱長度Lp。

1.4 最佳擴張比尋優算法及流程

至此，在發動機經過初步設計確定部分參數之后，設定一擴張比ε，即可求得相應發動機可變質量，進而計算得發動機沖質比。發動機可變質量最小，發動機沖質比即最大值對應的ε就是發動機設計中所尋求的最優擴張比ε*。接下來介紹文中選用復合形法求取ε*的算法流程。

以ε=ε0為計算起始點，由前文的數學模型和式(1)計算對應沖質比F(ε)，然后以同樣的流程計算ε=ε+Δ對應的沖質比F(ε+Δ)，Δ為循環計算遞加步長，一般而言，Δ =0.01能滿足絕大部分精度要求，并比較二者大小，若F(ε+Δ)大于F(ε)，則繼續之前的程序，直至F(ε+Δ)＜ F(ε)，則當前ε即為所求ε*。

文中研究時應用面向對象程序設計方法，利用C++語言進行程序設計。程序流程圖見圖2。

流程圖中，數據框中表示的根據箭彈總體要求或約束和發動機初步設計所得參數包括發動機設計總沖、燃燒室外徑和平衡壓強、裝藥根數和藥柱外徑、噴管擴張比、噴喉直徑、裝藥密度、燃氣比熱比、特征速度、燃燒室材料密度等等。

2 工程算例

某型火箭彈發動機根據總體要求經過第一輪發動機設計，所得參數如下。

圖2 優化算法流程圖

發動機總沖要求4500N·s;初步方案所選用推進劑，20℃ 燃速公式為 0.3494p0.285cm/s，特征速度為1350m/s，密度為1650kg/m3;燃燒室平衡壓強為10MPa;根據整彈尺寸確定燃燒室直徑為131.2;裝藥類型為19根管狀裝藥，藥柱外徑26.5(根據燃燒室外徑和裝藥根數確定);噴管喉部直徑確定為28.5，擴張半角為13.5°，發動機殼體采用金屬材料;若在設計時，將擴張比初定為4，此時沖質比為746.2。

根據文中的數學模型和優選算法，以程序流程圖2用C語言編寫源代碼，輸入初始參數后以ε0=1為計算初值，運行程序，結果輸出該發動機最優擴張比ε*=5.67，發動機目標函數質量比沖達到759.3。

3 小結

1)文中提出一種基于發動機質量比沖最大原則的噴管擴張比尋優算法，其數學模型和算法合理可行，可以快速獲取噴管最佳擴張比，為噴管擴張比的選擇提供了科學依據。

2)該算法尤其適用于中小型固體發動機設計時，確定了燃燒室外徑尺寸和平衡壓強之后對噴管擴張比的最佳值尋優。是對目前發動機優化設計方法的完善和補充，也為后續的研究提供了方法和思路。

[1]楊月誠.火箭發動機理論基礎[M].西安:西北工業大學出版社，2010.

[2]何景軒，田維平，何國強，等.基于遺傳算法的固體火箭發動機參數優化設計[J].固體火箭技術，2004，27(4):250－254.

[3]何景軒，甘曉松，樂發仁，等.固體火箭發動機燃燒室壓強及噴管擴張比優化設計[J].固體火箭技術，2003，26(4):12－13.

[4]甌海英，張為華，解紅雨，等.基于圖形變形法的固體火箭發動機優化設計[J].推進技術，2006，27(3):201－204，207.

[5]李曉斌，張為華，王中偉.固體火箭發動機裝藥不確定性優化設計[J].固體火箭技術，2006，29(4):269－273.