數值求解一類空間分數階擴散方程源項系數反問題

阮周生，張文，王澤文

（1.東華理工大學 放射性地質與勘探技術國防重點學科實驗室，江西 撫州 344000；2.東華理工大學 理學院，江西 南昌 330013）

數值求解一類空間分數階擴散方程源項系數反問題

阮周生1，2，張文1，2，王澤文2

（1.東華理工大學 放射性地質與勘探技術國防重點學科實驗室，江西 撫州 344000；2.東華理工大學 理學院，江西 南昌 330013）

數值求解一類空間分數階擴散方程源項系數反問題.利用函數變換，將源項系數反問題轉為對應的定解問題，利用隱式差分格式，求解對應定解問題，然后利用數值積分，求得待定系數函數的數值解，并且證明了隱式差分格式的絕對穩定性.通過數值算例表明，該數值方法具有較高的計算精度.

反常擴散；空間分數階導數；反問題；有限差分格式；穩定性

MSC 2010：35K05

反常擴散現象在自然界廣泛存在，反常擴散過程本質上是時間上有記憶性和空間非局域性的過程，故利用整數階擴散方程不能準確地描述這類反常擴散過程，分數階擴散方程在描述自然界反常擴散現象中起著非常重要的作用，其基本思想是利用對時間（或空間）的分數階導數代替整數階時間（或空間）導數，從而能夠較精確地描述有記憶和遺傳、路徑依賴性質的物理過程，在半導體、核磁共振、多孔介質、高分子聚合物、湍流、固體表面擴散、膠體中的輸運、量子光學、分子光譜、經濟金融都有廣泛的應用［1-6］.常福宣等利用分數階對流-彌散方程的Lévy分布解來模擬空間點溶質濃度的時間變化過程比用傳統的二階對流-彌散方程所得的高斯分布解來模擬效果更好［2］；孫洪廣等對空間分數階導數“反常”擴散方程的3種數值算法進行比較［3］；王晟等將Fick擴散定律的Fourier三角級數算法推廣成多孔材料分形擴散模型的Fourier-Bessel級數算法，并把它應用于化學工程中吸附問題涉及的濃度分布與相對吸附量的計算中，取得一些規律性認識［4］.

近年來，分數階對流擴散方程反問題越來越引起國內外學者的關注，谷文娟［5］等利用最佳攝動量法研究了一維時間分數階擴散方程中同時確定分數微分階數與擴散系數的數值反演問題.Battaglis［7］等求解了分數階熱傳導反問題.Murio［8］建立了一類分數階擴散方程反問題的穩定數值方法；Murio［9］分析了Caputo's時間分數階熱傳導問題.Sivaprasad［10］等利用反靈敏分析研究了分數階動力衰減系統.Cresson［11］討論了分數階微分方程反問題，并得到了一些微分方程的拉格朗日結構，最近魏慧利用最佳攝動量方法數值求解了一類分數階拋物型方程擴散系數反問題［12］.

本文考慮下面系數反問題，即找｛p（t），u（x，t）｝，使得滿足問題

其中擴散系數d（x，t），源項q（x，t），邊界條件函數h1（t），h2（t），初始條件函數f（x）為已知函數，k（x）表示求解區間［0，L］內1已知函數，E（t）為測量數據，p（t）為未知系數函數.問題（1）～（4）可視為源項控制反問題，通過在求解區域內源項產生能量的變化規律來反演源項系數p（t）.

程系數p（t）反問題已經有許多學者研究過，見文獻［13-17］.

1 問題轉換

2 隱式差分格式的建立

在時間方向上采用一階向前差商，離散上述反常擴散方程中的一階時間偏導數，有在空間上使用修正的向前Grünwald-Letnikov定義來表示空間α階導數［3］，

3 系數函數p（t）數值求解

4 數值等例

5 結論

研究了一類一維分數階擴散方程源項系數反問題的數值計算方法，證明了差分格式的無條件穩定性.從數值模擬來看，當Nx與Nt的取值越大時，精度越高.本文的數值方法同樣可以應用到二維分數階擴散方程源項系數反問題.

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Numerical solution of source terms coefficient inverse problem for a kind of space fractional diffusion equation

RUAN Zhousheng1，2，ZHANG Wen1，2，WANG Zewen2
（1.Key Laboratory of Radioactive Geology and Exploration Technology Fundamental Science for National Defense，East China Institute of Technology，Fuzhou 344000，China；2.College of Science，East China Institute of Technology，Nanchang 330013，China）

A numerical method for source coefficient inverse problem of a kind of one-dimensional space fractional diffusion equation is concerned.The inverse problem of source coefficient is converted to the corresponding definite problem through function transformation.Applying the implicit difference，the solution of the corresponding definite problem is founded.Using the numerical integral，the numerical solution of the undetermined function is founded，and the unconditional stability of difference scheme is proved.The numerical example shows that the proposed method has high accuracy.

anomalous diffusion；spatial fractional derivative；inverse problem；finite difference scheme；stability

O175

A

1000-1565（2012）05-0458-06

2011-10-11

國家自然科學基金資助項目（41001320，11161002）；江西省自然科學基金資助項目（2009GZS0001）；江西省教育廳科技資助項目（GJJ11151）；放射性地質與勘探技術國防重點學科實驗室資助項目（2010RGET12）

阮周生（1980-），男，江西吉安人，東華理工大學講師，主要從事偏微分方程正反問題的算法與理論研究.

E-mail：zhshruan＠ecit.cn

王蘭英）