氣浮式空間力矢量測量方法研究

黃 斌 余曉芬 黃 英 黃海陽 張文偉

1.合肥工業(yè)大學(xué)，合肥，230009 2.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)，合肥，230026

0 引言

多維力傳感器主要用來測量空間力沿坐標(biāo)軸的力分量和力偶分量［1－3］。有代表性的多維力傳感器類型有美國Draper試驗室研制的基于電阻應(yīng)變片的豎梁結(jié)構(gòu) Waston六維力／力矩傳感器和斯坦福大學(xué)人工智能研究所設(shè)計的橫梁結(jié)構(gòu)Scheinman六維力／力矩傳感器［4－5］；Hirose等［6］研制的一種光學(xué)六維力傳感器，采用光學(xué)測量方法測出六橫梁的微小變形，從而計算出六維力。

測量精度不高是各種類型多維力傳感器共同存在的一個缺憾。從已有的各種類型多維力傳感器結(jié)構(gòu)上看，受力體與各維測力敏感部位之間都是固體連接，難以避免各維測力敏感部位之間的聯(lián)動效應(yīng)，傳感器測力時的測量結(jié)果包含有與被測力方向垂直的寄生力成分，即產(chǎn)生耦合現(xiàn)象。耦合與結(jié)構(gòu)設(shè)計和制造過程諸多因素有關(guān)，是個很復(fù)雜的非線性問題，雖然通過解耦可以較大幅度減小維間耦合誤差［7］，但無法實現(xiàn)完全解耦［8］。目前應(yīng)用最廣的電阻應(yīng)變片式三維力／六維力傳感器經(jīng)過解耦后測量的相對誤差精度只能達到1%［9－10］。

本文從如何避免多維力測量時的耦合現(xiàn)象角度提出了氣浮式測力方法［11－12］。用氣浮式測力方法測量三維力，受力體依靠氣體產(chǎn)生的浮力而懸浮平衡，各個測力敏感部位之間不存在固體連接，因而不存在維間耦合現(xiàn)象，可較大幅度地提高多維力的測量精度。

1 一維氣浮測力模型

氣浮測力需要設(shè)置噴嘴－浮板機構(gòu)，通過測量噴嘴－浮板機構(gòu)中特定部位的壓力、流量、流速等氣流參數(shù)，來求得作用在浮動體上外力的大小。本文研究的一維氣浮測力模型如圖1所示，它包括浮板、主噴嘴、承壓腔、測壓口和橫向噴嘴等部分。浮板底面與側(cè)面垂直，主噴嘴與橫向噴嘴垂直，各噴嘴分別正對浮板底面和側(cè)面。具有一定壓力的氣流經(jīng)主噴嘴流入主噴嘴與浮板之間的承壓腔和縫隙，在主噴嘴和浮板底面之間形成氣墊，浮起浮板；橫向噴嘴對稱布置在浮板的側(cè)面，具有一定壓力的氣流經(jīng)橫向噴嘴，在橫向噴嘴與浮板側(cè)面之間形成氣墊，使浮板橫向保持平衡。該模型實質(zhì)是一個由主噴嘴和浮板組成的噴嘴－浮板機構(gòu)，橫向噴嘴只起橫向穩(wěn)定浮板的作用。建立的直角坐標(biāo)系如圖1所示，主噴嘴對浮板產(chǎn)生的浮力沿Y方向，橫向噴嘴對浮板產(chǎn)生的浮力沿X方向。通過測量承壓腔中的氣體壓力，可求出作用在浮板上的外力在Y方向上分量的大小。根據(jù)流體承載的特性，承壓腔與浮板之間的氣墊只能承受正壓力而不能承受剪切力，橫向力對測量結(jié)果不會形成干擾。

圖1中，設(shè)氣浮噴嘴和浮板為圓形，r1為承壓腔半徑，r2為主噴嘴半徑，h為噴嘴與浮板之間的氣膜厚度，pd為承壓腔內(nèi)的氣體壓力，pa為周邊環(huán)境氣壓，pc為橫向噴嘴的供氣壓力，F(xiàn)為作用在浮板上的外力沿Y方向的分量，v為噴嘴與浮板之間沿半徑方向的氣體流動速度。在建立F與pd之間數(shù)學(xué)模型時可假設(shè)［13］：由加速度引起的慣性力同黏性剪切機理引起的摩擦力相比可忽略不計；氣膜中的氣體流動為層流；垂直于氣流的截面上的壓力是恒定的；在流體與板之間的界面上不存在滑動。根據(jù)諾維—斯多克斯方程，距離噴嘴中心r處，有

式中，μ為氣體的動力黏度；p為氣體壓力。

對上式積分，并注意到當(dāng)y＝0，y＝h時，v＝0，可得

設(shè)氣體的密度為ρ，則流過半徑r、氣膜厚度為h的環(huán)流面積的質(zhì)量流量qm為

由式（2）得

假定氣流不可壓縮，處于半徑r（r1≤r≤r2）處的縫隙中的氣體壓力可通過對式（3）積分得到：

當(dāng)r＝r2時，p＝pa，所以有

將式（5）代入式（4）得

一維氣浮測力模型的承載力F為

式（7）說明，對于給定的一維氣浮測力模型，承載力F只與噴嘴—浮板機構(gòu)中氣體承壓腔內(nèi)的氣體壓力pd有關(guān)，通過測量pd可以求得F的大小。

2 三維力矢量氣浮式測量模型

2.1 三維力矢量氣浮式測量原理

根據(jù)力的分解與合成原理，在某個三維直角坐標(biāo)系OXYZ中，任意一個力矢量F可以向坐標(biāo)原點O簡化，得到一個主矢和一個主矩。如圖2所示，在直角坐標(biāo)系OXYZ中，設(shè)有力矢量F，F(xiàn)通過空間某一點（x，y，z），則F簡化到O 點的主矢FO和主矩MO分別為

式中，F(xiàn)X、FY、FZ分別為力矢量F 沿坐標(biāo)軸X、Y、Z的分量；MX、MY、MZ分 別 為 主 矩 MO沿 坐 標(biāo) 軸 X、Y、Z 的分量。

由式（8）、式（9）可知，通過測量出力矢量F沿三個坐標(biāo)軸的分力以及繞三個坐標(biāo)軸的力矩可以求出矢量F。

力矢量的氣浮式測量模型如圖3所示：用16個結(jié)構(gòu)相同的氣浮噴嘴將一塊矩形六面體結(jié)構(gòu)的浮板完全浮起，每個噴嘴正對浮板，形成一個一維氣浮—浮板機構(gòu)。以浮板幾何中心為原點建立三維直角坐標(biāo)系OXYZ，其中，X軸垂直于浮板左右側(cè)面，Y軸垂直于浮板的前后側(cè)面，Z軸垂直于浮板的上下面。噴嘴按2個一組相對、共線布置的方式對稱布置在浮板的左右兩側(cè)面、前后兩側(cè)面和上下兩表面。浮板的前后面布置2組噴嘴，左右面布置2組噴嘴，上下面布置4組噴嘴。圖3中，箭頭表示氣浮噴嘴布置方向，即噴嘴產(chǎn)生的氣體壓力的方向，其中，正對浮板前后側(cè)面布置的2組噴嘴在OXY平面內(nèi)，噴嘴中心到X軸的距離為l；正對浮板左右側(cè)面布置的2組噴嘴在OXY平面內(nèi)，噴嘴中心到Y(jié)軸的距離為l；正對浮板上下側(cè)面布置的4組噴嘴中心到X軸和Y軸的距離均為l。通過差動測量各組噴嘴中兩個氣浮承壓腔內(nèi)的氣體壓力差值可求取作用在浮板上力矢量F沿X、Y、Z軸的3個分力和繞X、Y、Z軸的3個力矩。

2.2 三維力矢量的求取

在圖3所示的力矢量氣浮式測量模型中，通過浮板中心建立的坐標(biāo)系OXYZ如圖3所示。設(shè)浮板4個拐角處的浮力的交匯點分別為A、B、C、D，且各點坐標(biāo)分別為 A（l，－l，0）、B（l，l，0）、C（－l，－l，0）、D（－l，l，0）；記通過A點、C點且沿X方向布置的一組噴嘴差動測量得出的力為FCA，F(xiàn)CA方向由C指向A為正；通過D點、B點且沿X方向布置的一組噴嘴差動測量得出的力為FDB，F(xiàn)DB方向由D指向B為正；通過A點、B點且沿Y方向布置的一組噴嘴差動測量得出的力為FAB，F(xiàn)AB方向由A指向B為正；通過C點、D點且沿Y方向布置的一組噴嘴差動測量得出的力為FCD，F(xiàn)CD方向由C指向D為正；正對浮板上下表面布置的每組氣浮測力噴嘴測量得出的沿Z軸正方向的力分別為FAZ、FBZ、FCZ、FDZ。于是，在X、Y、Z軸方向上測出的力FX、FY、FZ為

設(shè)作用在浮板上某點的外力為R，R沿X、Y、Z軸的3個分力和繞X、Y、Z軸的3個力矩分別記為RX、RY、RZ以及M′X、M′Y、M′Z，F(xiàn)CA、FDB、FAB、FCD繞Z 軸轉(zhuǎn)動的力臂為l，F(xiàn)AZ、FBZ、FCZ、FDZ繞X軸和Y軸轉(zhuǎn)動的力臂均為l，則有

R的大小以及與X、Y、Z坐標(biāo)軸正向夾角α、β、γ的方向余弦分別為

設(shè)浮板表面在OXYZ坐標(biāo)系中的方程是z＝z0，若R在X、Y、Z方向上的分力均不為零，作用在浮板表面的作用點坐標(biāo)是（x0，y0，z0），則有

解式（15）可解得

若R作用在浮板表面上，即R在Z軸方向上的分力RZ為零，但在X、Y方向上的分力RX、RY不為零，則R與OXZ平面的交點坐標(biāo)（x0，z0）由下式求出：

R與OYZ平面的交點坐標(biāo)（y0，z0）由下式求出：

若R作用在浮板表面上且與X軸平行，則R偏離Z軸的距離可由式（20）求出；若R作用在浮板表面上且與Y軸平行，則R偏離Z軸的距離可由式（18）求出。

3 實驗驗證

根據(jù)力矢量氣浮式測量模型研制的氣浮式力矢量測量平臺如圖4所示。在氣浮式力矢量測量平臺的浮板上加載已知的力矢量，直接測出的是各組氣浮承壓腔內(nèi)的氣體壓力差值，由式（10）～式（21）可以得出作用在浮板上的力矢量的測量值。在研制的氣浮式力矢量測量平臺上進行了實驗，實驗過程中，各組加載力的大小、方向和作用點的坐標(biāo)如表1所示。考慮到氣浮式力矢量測量平臺在X方向和Y方向具有完全對稱的結(jié)構(gòu)，沿坐標(biāo)軸加載實驗只需沿X方向和Z方向進行。加載點選擇在浮板表面不同的位置；根據(jù)所研制的氣浮式力矢量測量平臺具體結(jié)構(gòu)尺寸，浮板表面在圖3所示的坐標(biāo)系中的方程為z＝10mm。

表1 氣浮式測力平臺加載方向及加載點實驗

分析實驗數(shù)據(jù)可得：沿坐標(biāo)軸方向加載時，其他坐標(biāo)軸方向測量值均為零，這表明氣浮式測力平臺測力時不存在維間耦合現(xiàn)象，符合理論預(yù)期。空間力矢量測量的誤差如下：力的相對誤差為0.2%，力的方向誤差為0.5°，力的作用點坐標(biāo)值誤差為±0.05mm。

4 結(jié)語

提出了一種基于氣浮測力原理的三維空間里任意力矢量的精密測量方法，設(shè)計了一種測量力矢量的氣浮式測力平臺模型，推導(dǎo)得出了作用在氣浮式測力平臺上力矢量的計算公式；研制了力矢量的氣浮式測力平臺樣機，通過實驗得出，氣浮式測力平臺測力時不存在維間耦合。空間力矢量測量的相對誤差如下：力的大小誤差為0.2%，力的方向誤差為0.5°，力的作用點坐標(biāo)值誤差為±0.05mm。

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