雷電電磁場空間分布模型

趙玉龍，劉光斌，余志勇，黃 偉

（1.解放軍第二炮兵工程大學，陜西 西安 710025；2.解放軍71217部隊司令部，山東 萊陽 265200）

0 引言

雷電（Lightning，也被稱為閃電）指帶電云層內部、云層與云層間或云層與大地間發生的放電現象，它伴隨強烈的閃光和巨大響聲［1］，主要分為云地閃和云閃兩種。但由于雷電的發生隨機性較大，危險系數極高，直接運用于試驗研究難度較大。因此，學術界相繼提出了雷電放電通道的多種計算模型作為雷電研究的基礎，主要包括氣動模型（Gas Dynamic Models）、電磁場模型（Electromagnetic Models）、RL－C傳輸線模型（R－L－C transmission－line models）和工程模型（Engineering Models）［2］。其中，工程模型在國內外的雷電研究工作中應用最為廣泛，這主要是因為利用工程模型的建模計算可得到實測的雷電電磁場強度［3］，這種研究思路與雷電實際測量工作很接近。

一直以來，人們對于雷電進行了大量的研究，其中，文獻［3—4］對雷擊點為地面建筑物時，在不考慮地面電導率的條件下，進行了雷電回擊電磁場理論研究以及模擬試驗研究，對于建筑防雷起到了較好的指導作用；另外，還有學者應用一種新型天線理論，并考慮地面的有限電導率，綜合對LEMP進行了研究［5］；Rakov、Nuuci等學者就雷電通道的研究開展過一些具有重要意義的工作；Rubinstein應用單極子和偶極子技術求解了雷電電磁場的麥克斯韋方程，但是，單極子技術誤差較大［6］，不利于得到雷電電磁場的精確解。而對于云閃的研究主要致力于云閃通道形態、放電過程等特征的研究，國外學者進行了重要的研究［7－13］；國內也有學者對云閃的發生、發展進行了相關的研究［14］，總結出了云閃的一些特征和資料。

總之，國內外大多數的雷電研究局限于地面建筑物、電氣設備等地面場點附近的云地閃電，研究已較為成熟，并得到了一些寶貴的資料和數據，研究成果也廣泛地應用于這些領域的雷電防護中。但是，隨著國防現代化建設的步伐不斷加快，國防軍事領域飛行器中一些設備信息化程度也越來越高，微電子設備高度集成，越來越精密化、智能化和小型化，應用廣泛。因此，本文推導空間任意場點處的雷電電磁場計算表達式。

1 偶極子法求解雷電電磁場

大量的觀測事實證明，雷電放電通道極不規則，放電通道形狀隨意性較大，往往具有傾斜、彎曲、分支和扭曲等。國內外對雷電放電通道建模研究時，將其作簡化且等效為垂直于地面的一根導線，按照天線理論進行研究［15］，即不考慮通道的分支及放電波形在傳播中的變形等因素。雷電對處于其放電通道中的各設備影響，可以通過求解時變電流在空間任意場點引起的電磁場來分析，主要理論分析依據就是應用偶極子理論求解Maxwell方程組。

時變電磁場的Maxwell方程組為：

式 （1）中，ε0為 介 電 常 數 （F／m），μ0為 磁 導 率（H／m），ρ和J分別表示電荷和電流密度，B表示磁通量密度（wb／m2），E表示場強，H 表示磁場強度（A／m），把v1定義為雷電波速度（v1＝1／），在空氣中等于光速，即為2.998×108m／s。在已知雷電輻射源（dV）的情況下，如圖1。一般求解電位φ和矢量磁位A，代替E和H 。

以及考慮到Lorentz條件：

將式（2）、式（3）、式（4）代入式（1），即可得到變換后的Maxwell方程組：

求解式（5），得到非齊次一般解：

解中的r和r＇關系如圖1所示。

圖1 求解示意圖Fig.1 Solution sketch map

2 任意空間雷電電磁場分布

在雷電電磁場的理論計算研究中，建立精準的雷電放電通道模型是重中之重，也是雷電研究的基礎和前提。如圖2所示，將雷電放電回擊通道等效為垂直于地面的長為H的豎直天線，其中P（r，φ，z）表示位于雷電電磁場中的空間任意場點，雷電回擊電流以速度v勻速沿通道向上傳輸。h表示t時刻通道回擊電流前沿所到達的高度，h上方電流為0。

圖2 雷電回擊物理模型Fig.2 Physics model of lightning return strike

依照偶極子理論，在通道中選取任一個電荷dz＇作為研究對象，電荷距地面高度為z＇，則－z＇處建立一個鏡像等效電荷，放電通道附加鏡像電流－h，以此建立雷電電磁場計算柱坐標系，如圖3所示。

結合圖2、圖3，應用偶極子原理求解上述Maxwell方程組。求解式（4）得電位φ：

將式（7）代入式（2），即求得E ：

圖3 電磁場柱坐標系Fig.3 Pole coordinate of electromagnetic field

如圖2所示，偶極子dz＇電流用i（z＇，t）描述，az表示Z向單位矢量勢，則由式（6）求得矢量磁位A：

再將式（9）代入式（3）、式（8），就得到空間任意一場點P的電場和磁場計算式：

式中，r、z）、φ分別表示徑向坐標、軸向坐標、方位角，各分量的含義以及幾何關系可參考圖3得到，其中R＝。不難發現，柱坐標系下雷電場的電場場強分布與φ無關，因此雷電總電場又可定義為：

采用相應的雷電流模型，就可以計算空間雷電電磁場的理論值。h可由海維賽德（Heaviside）函數［16］導出，其定義如下：

即令：

即可推導出：

3 雷電電磁場數值仿真

實際雷電電磁場的研究中，地面（z＝0）是一特殊的場點，人們的生產、生活都是在地面場點進行的，同樣，對于雷電的實際測量工作也是在地面進行的。直接計算空間任意場點電磁場難度較大，因為式（10）、式（11）、式（12）中有大量的積分運算，因此，本章對于地面場點（即z＝0）處的雷電電磁場進行數值仿真計算，驗證雷電電磁場的理論計算正確性。應用上一章的理論分析和推導公式，分別計算雷電流峰值I0＝200kA，云層高度H＝7.5km時，地面上場點（z＝0）距離分別為r＝5km，r＝100km處的電場和磁場強度。其中，ε0＝8.854×10－12F／m，v取0.5c，（c是真空中的光速，為2.998×108m／s）。仿真結果如圖4所示。

圖4 地面場點距離r＝5km、r＝100km處電磁場Fig.4 LEMP on the ground level r＝5km 、r＝100km

不難發現，云地閃電產生的雷電電磁場，與雷電回擊通道的高度、雷電流的大小、場點高度以及場點P與通道間的距離等多個因素有關。其中，雷電流回擊速度對雷電電磁場場強影響較大，而對于雷電電磁場磁場強度影響較小。

對于雷電電磁場的場強分布，當h＜H時，雷電產生的電場隨h的升高而增強，而隨著距離r的增大，場強呈逐漸減小的趨勢；對于雷電電磁場的磁場強度分布，磁場強度隨著高度h的增加和水平距離r的增加，呈逐漸減小的趨勢，最終的數值仿真結果和實際的雷電電磁場的變化規律是相吻合的，證明了本文雷電電磁場計算方法的可行性。地面場點電磁場的計算分析，對于地面附近雷電防護研究具有較為重要的指導作用。

4 結論

本文重點推導了空間任意場點處的雷電電磁場計算表達式，該式表明云地閃電產生的雷電電磁場，與雷電流回擊速度、雷電回擊通道的高度、雷電流大小、場點高度以及場點P與通道間的距離等多個因素有關。對地面場點（即z＝0）處的雷電電磁場的數值仿真結果表明：對于雷電電磁場的場強分布，當h＜H時，雷電產生的電場隨h的升高而增強，而隨著距離r的增大，場強呈逐漸減小的趨勢；對于雷電電磁場的磁場強度分布，磁場強度隨著高度h的增加和水平距離r的增加，呈逐漸減小的趨勢。數值仿真結果和實際的雷電電磁場的變化規律是相吻合的，證明了本文雷電電磁場計算方法的可行性，這對于地面附近雷電防護研究具有較為重要的支撐作用。

［1］劉有菊，和偉.雷電放電電磁場及保護［M］.第一版.昆明：云南大學出版社，2009.

［2］李韋霖，楊琳，李慧，等.雷電通道模型研究與應用［J］.現代電子技術，2010，33（5）：174－178.LI Weilin，YANG Lin，LI Hui，et al.Research and application of lightning channel model［J］.Modern Electronics Technique，2010，33（5）：174－178.

［3］José Luis Bermudez，Farhad Rachidi，Wasyl Janischewskyj，et al.Far－field－current relationship based on the TL model for lightning return strokes to elevated strike objects［J］.IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility，2005，47（1）：146－157.

［4］Yoshihiro Baba，Vladimir A.Rakov.On the interpretation of ground reflections observed in small－scale experiments simulating lightning strikes to towers［J］.IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility，2005，47（3）：533－542.

［5］Abdolhamid Shoory，Rouzbeh Moini，S.H.H.Sadeghi.Analysis of Lightning Electromagnetic Fields in the Vicinity of a Lossy Ground Using a New Antenna Theory Model［C］／／2003IEEE Bologna PowerTech Conference.us：IEEE，2003：23－26.

［6］Marcos Rubinstein，Uman M A.Transient electric and magnetic fields associated with establishing a finite electrostatic dipole，revisited［J］.IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility，1991，33（4）：350－359.

［7］Le Vine D M，Menghini R.Electromagnetic fields radiated from a lightning return stroke：Application of an exact solution to Maxwell＇s equations［J］.Journal of Geophysical Research，1978（83）：2 377－2 384.

［8］Hager W W，Wang Dongxing.An analysis of errors in the location，current，and velocity of lightning［J］.Journal of Geophysical Research，1995，100（D12）：25 721－25 729.

［9］Bils J R，Thomson E M，Uman M A，et al.Electric field pulses in close lighting cloud flashes［J］.Journal of Geophysical Research，1988，93：15933－15940.

［10］Ogawa T，Brook M.The mechanism of the intracloud lightning discharge［J］.Journal of Geophysical Research，1964（69）：5 141－5 150.

［11］Liu X S，Krehbiel P R.The initial streamer of intracloud lightning flashes［J］.Journal of Geophysical Research，1985（85）：4 091－4 095.

［12］Shao X M，Krehbiel P R.The spatial and temporal development of intracloud lightning［J］.Journal of Geophysical Research，1996，101（D21）：26 641－26 668.

［13］Mansell E R，MacGorman D R，Ziegler C L，et al.Simulated three－dimensional branched lightning in a numerical thunderstorm model［J］.Journal of Geophysical Research，2002，107（D9）：ACL21－12.

［14］譚涌波，陶善昌，祝寶友，等.雷暴云內閃電雙層、分枝結構的數值模擬［J］.中國科學：地球科學，2006，36（5）：486－496.

［15］Valadimir A Rakov，Martine A Uman.Review and evaluation of lightning return stroke models including some aspects of their application［J］.IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility，1998，40（4）：403－426.

［16］Podgorski A S，Landt J A.Three dimensional time domain modeling of lightning［J］.IEEE Trans Power Del，1987，PWRD－2：931－938.