基于第二類橢圓積分的子午線弧長反解新方法*

過家春

(1)安徽農業大學理學院，合肥 230036 2)江西省數字國土重點實驗室，撫州344000)

基于第二類橢圓積分的子午線弧長反解新方法*

過家春1，2)

(1)安徽農業大學理學院，合肥 230036 2)江西省數字國土重點實驗室，撫州344000)

基于第二類橢圓積分及拉格朗日反演理論，推導出子午線弧長反解的新方法。該方法為歸化緯度的余弦函數的泰勒級數展開，給出了子午線弧長的分析解。算例表明，其收斂速度快，精度可靠，可以滿足實際應用精度要求。

子午線弧長反解;第二類橢圓積分;拉格朗日反演;泰勒級數;超幾何函數

1 引言

子午線弧長反解問題(圖1)是大地測量學、地圖學等學科領域中的基礎性問題。國內外關于這一問題的計算方法主要分為4種類型［1-4］，文獻［1］進行了系統分析。當前我國所采用的解法主要有牛頓迭代算法、基于三角級數回代理論的直接算法兩種［4］，主要用于求解高斯投影坐標反算中的底點緯度［4，5］。已有學者指出這一問題的算法仍然不夠簡潔，沒得到完美的解決［6，7］。近年來，子午線弧長反解的遞歸算法、Hermite插值方法、冪級數展開方法等［6-8］被提出。其中，文獻［6］及［7］中的級數展開方法開辟了子午線弧長反解的新思路。筆者在文獻［9］中將子午線弧長公式變換為第二類橢圓積分的標準形式，并指出子午線弧長反解的本質實為第二類橢圓積分的逆。本文將以此為基礎，引入拉格朗日反演理論，給出子午線弧長反解的新方法。

圖1 子午線弧長反解Fig.1 Inverse solution of the Meridian

2 理論基礎

2.1 子午線弧長與第二類橢圓積分之間的關系

在文獻［9］中，已經得到:

式中，

為第二類不完全橢圓積分。特別地，當大地緯度B =90°時，四分之一橢球子午線弧長為

為書寫方便，本文以下簡記為F。順便指出，按二項式定理展開計算子午線弧長公式中的首項常系數A與F之間的關系為

若以歸化緯度μ為積分變量，則有

式中，θ為歸化緯度的余角，即θ=π/2-μ。特別地，當μ=90°時，亦得式(3)。其中大地緯度B與歸化緯度μ之間的關系為

2.2 拉格朗日反演定理(Lagrange Inversion Theorem)［10-12］

若函數y=f(x)在點x0的某一鄰域U(x0)內可展開為泰勒級數

且f'≠0，則其反函數x=f-1(y)在相應的y0點的某一鄰域V(y0)內也可展開為泰勒級數

式中，記y0=f(x0)=f(0)(x0)。進一步地，對于在鄰域U(x0)內無窮可微的函數g(x)，也有

拉格朗日反演定理表明，在一階導不等于零的情況下，解析函數的反函數也可展開為泰勒級數。以下討論將以此為重要理論基礎。

3 基于第二橢圓積分的子午線弧長反解公式推導

以式(6)為基礎，定義

這樣，子午線弧長反解問題即轉換為了第二類橢圓積分的求逆問題。

并構造函數

這里，視函數f(x)是以θ、β為中間變量，以t為自變量的復合函數。易得

由于第二類橢圓積分E(θ，e)在θ=0處可展開為泰勒級數，根據拉格朗日反演定理，函數(12)在t =0也可展開為泰勒級數

式中，記f(0)(0)=f(0)。根據泰勒中值定理，該級數是收斂的，ξ是0與1之間的某個值。這里記f (t)的級數展開式為f(t)M，以區分式(13)。

由復合函數求導法則，對于二階及二階以上導數有:

不難發現，各階導數中的偶數階導數均含有sinθ及sinβ因子，所以在t=0處有

此處記f(0)(0)=f(0)。由此，式(15)可化簡為

上式二階以上導數的手工求解是比較困難的，筆者在計算機代數系統Maple中求得其前11階導數在點t=0處的值分別為

據此，可取近似值

因此可得

上式要求f(t)M≠0。顯然，當 f(t)M→0時，Bf→90°。實際上，當S=S90°時也不必用此式反解。這里，反算結果記為μf及Bf，以區分正算，Bf亦對應于高斯投影坐標反算中的底點緯度。實際應用時，還可以根據精度需要，求出更高階導數。

另外，式(19)的系數是有規律可循的，其包含兩個整數數列:

1)特別地，當e=0時，式(19)即化為sin［Farcsin(θ/F)］的麥克勞林級數展開式的奇數階導數值，其系數規律參見整數數列線上大全A008956［13］，即為式(19)的外部系數。

2)若上述討論中不再令t=sinβ，而將f(β)= sinθ視為以β為自變量的復合函數，則其麥克勞林展開式為

顧及大地緯度B與歸化緯度μ之間的關系(6)，易得

求至11階的導數值為

經驗證，式(23)與式(18)比較，其收斂速度較慢，但其系數結構為式(19)的內部系數。該系數涉及第二類橢圓積分，其規律需進一步研究。

4 算例與分析

對于特定的地球橢球，以上給出的基于第二類橢圓積分的子午線弧長正反解公式中的E、F及式(18)的系數為涉及橢球第一偏心率e及相應超幾何函數F的常數。在此，首先將我國幾個常用地球橢球正反解所涉及到的一些常量，及式(18)的系數列于表1。為便于誤差分析，表中小數點后取位較多(末位采用四舍五入法)，在實際應用時可根據精度需要對表中各參數數位進行適當取舍。

表1數據顯示，各種橢球下該級數的收斂速度都很快。以我國CGCS2000橢球為例進行反算驗證，計算結果列于表2，f(t)M、μf及Bf的誤差曲線如圖2所示。

表2及圖2表明，式(18)收斂速度很快，反算大地緯度的誤差ΔB依賴于Δf，隨緯度增大而減小，呈非線性變化。在實際測量工作中，一般要求通過公式的解算精度應高于觀測精度。按這樣的原則，大地緯度的解算精度應不低于3.3×10-6″，即對應的子午線弧長精度不低于0.1 mm。經計算分析，在緯度大于15°的地區，將級數展開至9階導的緯度解算誤差在2.2×10-6″以內;在緯度大于1°的地區，將級數展開至11階導，誤差在4.42×10-7″以內。在我國地理緯度范圍，展開至11階導即能滿足實際應用要求，在緯度大于15°的地區展開至9階導即可。

圖2 子午線弧長反解新方法誤差曲線Fig.2 Error curves of the inverse solution of the Meridian Arc Length with the new methods

表1 涉及第二類橢圓積分的常用地球橢球的一些常量Tab.1 Several constants of different ellipsoids related to the Elliptic Integral of the Second Kind

表2 基于第二類橢圓積分的子午線弧長反解新方法例證表Tab.2 Illustration of the new method for inverse solution of Meridian by Elliptic Integral of the Second Kind

在赤道附近，需展開至更高階項方能達到上述精度要求，公式較為冗長，解決的途徑是可按本文方法在β=π/2處展開為泰勒級數，此不贅述。

與現有的方法對比，本文的反解方法的特點主要體現在:

1)提供了一種新的子午線弧長反解直接算法，相對于傳統的3種直接算法精度有明顯提高:基于三角級數回代理論的直接算法、Helmert公式直接算法及表達為子午線弧長S的多項式逼近算法的最弱精度分別約 1.3×10-5″、2.0×10-5″及 1.0× 10-4″［1，4］，本文算法精度如前所述，且可通過將級數展開至更高階項，以達到任意精度的結算。

2)高斯超幾何函數的引入對子午線弧長正反解理論的完善具有一定的推動作用。首先，如式(5)所示，該參數出現在子午線弧長的正解中。而在反解中，除在本文出現外，經典的迭代算法及直接算法的初值實際為S/aF，也涉及該參數。在其他大地測量問題中，該參數是否仍會出現，需進一步研究。

3)新方法還主要體現在其分析特點。已有的直接算法、迭代算法、插值方法、高斯-勒讓德求積法等方法均屬于數值計算方法的范疇，事實上仍有許多其他的數值近似解方法可以用于子午線弧長的反解計算，能夠滿足實際應用的精度要求。而本文方法為緯度函數的常系數、收斂的冪級數展開，可以根據精度需要任意展開，可擴展性好。該方法屬于數學分析范疇，給出了子午線弧長反解的分析解，是對已有方法的補充，并有助于研究子午線弧長的函數規律。

5 結語

本文基于勒讓德第二類橢圓積分，利用拉格朗日反演定理，將子午線弧長反解問題轉換為第二類橢圓積分的求逆問題，得到子午線弧長反解的泰勒級數展開新方法，精度可靠，可以滿足實際應用的精度要求。

1 朱華統.底點緯度計算方法評述［J］.測繪通報，1978，5: 10-14.(Zhu Huatong.Review on the methods for calculating latitude of low points［J］.Bulletin of Surveying Mapping，1978，5:10-14)

2 Wolfgang Torge.Geodesy(3rd.)［M］.Berlin:Walter De Gruyter，2001:91-98.

3 Deakin R E and Hunter M N.Geometric geodesy part A［M］.Melbourne:School of Mathematical and Geospatial Sciences，RMIT University，2010:60-77.

4 孔祥元，郭際明，劉宗泉.大地測量學基礎［M］.武漢:武漢大學出版社，2001，64-73.(Kong Xiangyuan，Guo Jiming and Liu Zongquan.Foundation of geodesy［M］.Wuhan:Wuhan University Press，2001:64-73)

5 丁佳波.利用底點緯度進行高斯投影換代計算［J］.測繪學報，1993，22(3):212-217.(Ding Jiabo.The transforming the zones of Gauss projection from latitudes of low points［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，1993，22(3):212-217)

6 易維勇，邊少峰，朱漢泉.子午線弧長的解析型冪級數確定［J］.測繪學院學報，2000，17(3):167-171.(Yi Weiyong，Bian Shaofeng and Zhu Hanquan.Determination of foot point latitude by analytic positive serires［J］.Journal of Institute of Surveying Mapping，2000，17(3):167-171)

7 Shaofeng Bian and Yongbing Chen.Solving an inverse problem of a meridian arc in terms of computer Algebra system［J］.Journal of Surveying Engineering，2006，132(1):7-10.

8 施一民，范業明.一種子午線正反解算的新方法［J］.同濟大學學報(自然科學版)，2005，33(7):964-966.(Shi Yimin，and Fan Yeming.New method for direct and inverse solution of meridian［J］.Journal of Tongji University(Nature Science)，2005，33(7):964-966)

9 過家春，等.基于第二類橢圓積分的子午線弧長公式變換及解算［J］.大地測量與地球動力學，2011，(4):94-98.(Guo Jiachun，et al.Calculating meridian arc length by transforming its formulae into elliptic integral of the second kind［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2011，(4):94-98)

10 Abramowitz M and Stegun I A.Handbook of mathematical functions with formulas，graphs，and mathematical tables［M］.Dover Publications，INC.，New York，1972.

11 http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_inversion_theorem.

12 Ferraro G.Lagrange inversion theorem:The rise and development of the theory of series up to the early 1820s［M］.Springer，New York，2008.

13 Sloane N J A.The on-line Encyclopedia of Integer Sequence:http://oeis.org/A008956.

NEW METHOD FOR INVERSE SOLUTION OF MERIDIAN BASED ON ELLIPTIC INTEGRAL OF SECOND KIND

Guo Jiachun1，2)

(1)School of Science，Anhui Agricultural University，Hefei 230036 2)Jiangxi Province Key Lab.for Digital Land，Fuzhou344000)

According to the theory of the elliptic integral of the second kind and Lagrange inversion theorem，we present a new method to solve the inverse problem of Meridian arc length，which is expressed by Taylor Series generated from the cosine function of reduced latitude.It gives a analytical solution for this problem.Numerical calculations are used to illustrate the accuracy of the method and the results show that it is applicable and useful in practice.

inverse solution of meridian;elliptic integrals of the second kind;Lagrange inversion theorem;Taylor series;hypergeometric function

1671-5942(2012)03-0116-05

2011-12-25

江西省數字國土重點實驗室開放研究基金資助項目(DLLJ201211);國家農業信息化工程技術研究中心開放課題(KF2010W40-046)

過家春，男，1981年生，碩士，講師，主要研究方向為大地測量學、地圖學與地理信息系統.E-mail:guojiachun@ahau.edu.cn

P226

A