Gumbel分布的基本風壓計算與分析

張延年，王元清，張 勇，石永久，李 寧

（1.清華大學 土木工程系，北京 100084；2.沈陽建筑大學 土木工程學院，沈陽 110168；3.沈陽市房地產(chǎn)開發(fā)建設管理辦公室，沈陽 110013）

統(tǒng)計資料表明，風災在所有自然災害中造成的損失最大。其中對建筑物、通信設施、交通設施的破壞更明顯[1]。風災的次數(shù)占51.4%，經(jīng)濟損失占40.5%，全球平均每年由于風災的損失達100億美元，死亡人數(shù)2萬人以上[2]。風荷載設防水平的確定是抗風結構設計的戰(zhàn)略性決策，定得太高會造成不必要的浪費，定得太低就有可能遇到風險造成重大的損失，這里存在一個最優(yōu)的設防荷載水平[3－4]。因此，正確地計算和確定各地不同重現(xiàn)期的風壓值，對各項建筑工程的抗風安全和建設資金的合理使用都有著重要的現(xiàn)實意義。

多年來關于基本風壓的研究相對較少，缺少計算模型的相關研究。另外，多年來中國各地區(qū)的最大風速的相關資料不斷積累，對其進行統(tǒng)計分析能夠更真實反映中國的基本風壓情況。因此筆者基于Gumbel分布對中國159個代表性城市在1951—2008年的歷年最大風速值進行統(tǒng)計分析并進行參數(shù)估算，采用矩法和耿貝爾法分別計算出重現(xiàn)期為10、50、100a的基本風壓值，并采用柯爾莫哥洛夫檢驗法對分布函數(shù)進行檢驗，最后與規(guī)范取值進行對比分析。

1 基本風壓的計算

采用中國194個國際交換站1951—2008年地面日值數(shù)據(jù)集中的最大風速年極值資料。風速資料應取自記風速儀的10min平均風速資料，對非自記的定時觀測資料需進行時次訂正[5]。

式中：y為自記10min平均風速；x為4次定時2min平均風速；系數(shù)a，b見表1。

表1 系數(shù)a，b取值

則基本風壓為

式中：w0為基本風壓，kN／m2；ρ為空氣密度；v0為重現(xiàn)期為50a的最大風速。

歷年最大風速被認為服從Gumbel（極值Ⅰ型）分布[6]，對Gumbel分布的參數(shù)估計，通常采用矩法、耿貝爾法和極大似然法。但極大似然法需要用數(shù)值求解強非線性方程組，應用起來十分不便[7]，因此采用矩法和耿貝爾法進行參數(shù)估計。

1.1 Gumbel分布及參數(shù)估計

分布函數(shù)

分布密度函數(shù)

保證率函數(shù)

其中a＞0稱為尺度參數(shù)，u是分布密度的眾數(shù)。其重現(xiàn)期為R時最大風速為

1.1.1 矩法 參數(shù)a、u與矩的關系為一階矩：E（x）＝＋u，其中γ為歐拉常數(shù)，γ≈0.57722。

二階矩

在實際計算中一般用有限樣本容量的均值和標準差作為理論值E（x）和σ的近似估計[8]。

1.1.2 耿貝爾法 假定年最大風壓為有序序列x1≤x2≤x3…≤xn，當其分布函數(shù)為連續(xù)函數(shù)時，在第n次觀測中位于第i個順序的觀測值的xi期望概率應為，則經(jīng)驗分布函數(shù)為

由大數(shù)定律，當N → ∞ 時，經(jīng)驗分布F＊（xi）將趨于總體X的極值理論分布函數(shù)F（x）。

在實際計算中可用有限樣本容量的均值和標準差作為E（x）和σ（x）的近似估計[9]。

1.2 計算結果優(yōu)良性指標檢驗

用樣本數(shù)據(jù)的經(jīng)驗分布擬合理論曲線分布，該隨機變量實際總體分布是否符合所選理論分布模型，需要一客觀判定方法[10]。柯爾莫哥洛夫檢驗法不是分區(qū)間來檢驗根據(jù)子樣得到的經(jīng)驗分布函數(shù)F＊（x）與理論分布函數(shù)F（x）之間的偏差，而是對每個點都檢驗F＊（x）與F（x）之間的偏差，因此該檢驗法比較精確、簡單、實用。柯爾莫哥洛夫擬合適度檢驗指標[11]：

1）擬合標準差

2）擬合相對偏差

式中：xi為有序風速樣本；為擬合值。

3）柯爾莫哥洛夫擬合適度

式中：Dn為擬合出來的理論分布與經(jīng)驗分布的最大偏差；F（x）為理論分布函數(shù)；（x）為經(jīng)驗分布函數(shù)。

由于3種參數(shù)估計優(yōu)良性指標中擬合標準差σ精度最高，擬合相對偏差V和柯爾莫哥洛夫擬合適度Dn的精度相對較低，在比較參數(shù)估計的優(yōu)良性時，以σ最小為優(yōu)（若σ相等時，再比較V和Dn）。

2 計算結果與分析

利用中國華北地區(qū)、東北地區(qū)、華東地區(qū)、中南地區(qū)、西南地區(qū)、西北地區(qū)6大區(qū)域具有代表性的159個城市在1951—2008年58年間的歷年最大風速值，采用Gumbel分布進行統(tǒng)計分析并對其參數(shù)進行估算。用矩法和耿貝爾法分別計算出重現(xiàn)期為10、50、100a的基本風壓值，部分代表城市列于表2。

表2 基本風壓計算結果 kN·m－2

續(xù)表2

采用柯爾莫哥洛夫檢驗法計算參數(shù)估計優(yōu)良性指標，部分代表城市計算結果見表3。

計算結果表明，以耿貝爾法估計為優(yōu)的城市有144個，而以矩法估計為優(yōu)的城市只有15個，耿貝爾法估計明顯好于矩法估計；當用Gumbel分布對中國各地區(qū)的最大風速年極值進行統(tǒng)計時，應選取耿貝爾法作為Gumbel分布的參數(shù)估計方法。

用計算出的基本風壓值與規(guī)范的基本風壓標準值相比，重現(xiàn)期為10a的基本風壓對比圖如圖1所示。表明二者存在顯著差異，浙江衢州二者相差0.234kN·m－2，平均相差0.08kN·m－2。

圖1 重現(xiàn)期為10a的基本風壓對比

重現(xiàn)期為50a的基本風壓對比圖如圖2所示。表明二者存在顯著差異，浙江衢州二者相差0.452 kN·m－2，平均相差0.11kN·m－2。

圖2 重現(xiàn)期為50a的基本風壓對比

表3 參數(shù)估計優(yōu)良性指標的計算結果

重現(xiàn)期為100a的基本風壓對比圖如圖3所示。表明二者存在顯著差異，浙江舟山二者相差0.538 kN·m－2，平均相差0.13kN·m－2。

圖3 重現(xiàn)期為100a的基本風壓對比

重現(xiàn)期為10、50、100a的基本風壓值對比分析表明，《建筑結構荷載規(guī)范》（GB 50009）的風壓計算的采樣數(shù)據(jù)少，與采用近58a間的歷年最大風速值計算的基本分壓相比存在較大差異，表明規(guī)范取值已經(jīng)不能真實反映我國的基本風壓情況，建議進行相應修訂。

3 結 論

通過對中國159個城市58a間的歷年最大風速值進行統(tǒng)計分析，分別計算出重現(xiàn)期為10、50、100a的基本風壓值，得出以下結論：

1）當采用Gumbel分布對中國各地區(qū)的最大風速年極值進行統(tǒng)計時，耿貝爾法比矩法擬合效果好，選取的參數(shù)估計方法應以耿貝爾法為優(yōu)。

2）重現(xiàn)期為10、50、100a的基本風壓值對比分析表明，《建筑結構荷載規(guī)范》（GB 50009）的風壓計算的采樣數(shù)據(jù)少，與采用近58a間的歷年最大風速值計算的基本分壓相比存在較大差異，表明規(guī)范取值已經(jīng)不能真實反映我國的基本風壓情況，建議進行相應修訂。

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