小波分析法實(shí)現(xiàn)水輪發(fā)電機(jī)軸心軌跡的提純

伍衛(wèi)平，倪國勝，范欽紅，李東風(fēng)，曹樹林

(1.水利部 水工金屬結(jié)構(gòu)質(zhì)量檢驗(yàn)測試中心，鄭州 450044;2.鄭州辰維科技股份有限公司，鄭州 450001)

水輪發(fā)電機(jī)軸心軌跡是轉(zhuǎn)子振動(dòng)信號(hào)的重要圖形征兆，包含大量的故障信息;分析軸心軌跡是診斷水輪機(jī)機(jī)組振動(dòng)故障的重要方法［1］。

工程實(shí)際中得到的軸心軌跡一般都會(huì)受到噪聲的污染，不易提取軸心軌跡的準(zhǔn)確及可靠特征。為了得到清晰的軸心軌跡，需要對(duì)獲得的軸心軌跡進(jìn)行降噪提純處理［2］。

傳統(tǒng)傅立葉變換存在不能用于非平穩(wěn)信號(hào)、不能同時(shí)進(jìn)行時(shí)-頻局部化分析(所謂時(shí)-頻局部化分析就是指同時(shí)兼顧時(shí)間分辨率與頻率分辨率，能根據(jù)需要對(duì)信號(hào)局部進(jìn)行分析的方法)的缺陷;小波分析法［3］克服了傳統(tǒng)傅立葉變換的缺陷，它是一種對(duì)信號(hào)同時(shí)進(jìn)行時(shí)頻分析的手段，具有多分辨率的特點(diǎn)，可以很好地用于非平穩(wěn)信號(hào)的分析。利用小波閾值去噪法可以方便地從混有強(qiáng)噪聲的信號(hào)中提取原始信號(hào)［4－5］，能夠較好地獲得清晰的水輪發(fā)電機(jī)軸心軌跡;而諧波小波［6］的提純效果更好，且其具有函數(shù)表達(dá)式明確、算法實(shí)現(xiàn)簡單、保持?jǐn)?shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)與采樣頻率不變等諸多優(yōu)點(diǎn)。

1 水輪機(jī)組軸心軌跡特點(diǎn)及模擬仿真

1.1 水輪機(jī)組振動(dòng)的危害、產(chǎn)生機(jī)理及軸心軌跡特點(diǎn)

水輪機(jī)組的振動(dòng)會(huì)使設(shè)備或結(jié)構(gòu)承受過大的交變載荷，成為疲勞破壞的重要原因。強(qiáng)烈的振動(dòng)將影響水輪機(jī)組的正常運(yùn)行，并降低機(jī)組和一些零部件的使用壽命。

一般來說，水輪發(fā)電機(jī)組的振動(dòng)是機(jī)械、水力、電氣等因素相互耦合作用的結(jié)果，振動(dòng)的機(jī)理很復(fù)雜。

水輪發(fā)電機(jī)組的軸心軌跡是指機(jī)組主軸軸心上一點(diǎn)相對(duì)于軸承座運(yùn)動(dòng)而形成的軌跡。

由于軸心軌跡中蘊(yùn)含著大量的故障信息，因此采用軸心軌跡形狀來判斷機(jī)組的運(yùn)行狀態(tài)或故障是非常有效的。

常見振動(dòng)故障的機(jī)理與信號(hào)特征如表1所示［2］。

表1 常見振動(dòng)故障的機(jī)理與信號(hào)特征Table 1 Common vibration faults and signal characteristics

實(shí)際故障診斷中得到的軸心軌跡一般都會(huì)受到噪聲的污染，原始軸心軌跡會(huì)變得比較雜亂，為了得到清晰的軸心軌跡，需要對(duì)獲取的原始軸心軌跡進(jìn)行降噪提純處理。

1.2 軸心軌跡的仿真模擬

含有噪聲的軸心軌跡的仿真方程為

圖1 軸心軌跡圖Fig.1 Sketch of the shaft orbit

式中:Ai為各個(gè)頻段的振幅;ω為振動(dòng)的基頻;n為倍頻數(shù);φi為初相位;Ft，F(xiàn)s為干擾信號(hào)。

首先，通常情況下，構(gòu)造如式(2)所示的方程來仿真各種軸心軌跡的形狀:

式中:A1，A2，α1，α2分別為x(t)的一倍頻、二倍頻分量的幅值與初相位;B1，B2，β1，β2分別為y(t)的一倍頻、二倍頻分量的幅值與初相位。

通過改變 A1，A2，α1，α2，B1，B2，β1，β2這 8個(gè)參數(shù)值的大小，基本上可以獲得各種常見的軸心軌跡形狀，加入高頻噪聲，就可以得到仿真所需要的各種含有噪聲的軸心軌跡，如圖2所示。

圖2 含高頻噪聲的模擬軸心軌跡圖Fig.2 Simulated shaft orbit with high frequency noise

2 小波閾值去噪的原理

小波具有局部非零、波形衰減、能同時(shí)進(jìn)行時(shí)頻分析的特點(diǎn)。

二進(jìn)小波變換具有分辨率隨分解尺度j成2j的增加、頻譜窗口變寬、能夠不斷細(xì)化的優(yōu)良特性。

以一維信號(hào)的去噪處理為例，來闡述一下小波去噪的基本原理?；镜暮肽Ｐ捅硎緸?/p>

式中:s(i)是含噪信號(hào);f(i)是有用信號(hào);e(i)是噪聲信號(hào);ε是噪聲強(qiáng)度。對(duì)信號(hào)s(i)去噪的目的是要抑制信號(hào)中的噪聲部分，從而在s(i)中恢復(fù)出真實(shí)信號(hào)f(i)。

對(duì)某一含噪信號(hào)進(jìn)行小波分解，如果進(jìn)行3層分解，其分解過程如圖3所示。通常情況下，有用信號(hào)包含在低頻的表示近似信息的a1，a2和a3中，噪聲部分包含在高頻的表示細(xì)節(jié)信息的d1，d2和d3中。

圖3 小波分解示意圖Fig.3 Schematic diagram of wavelet decomposition

一般來說，小波用于信號(hào)閾值去噪的基本步驟主要包括如下3步［7］:

(1)選擇合適的小波基函數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波分解;

(2)選擇合適的閾值函數(shù)及合適的閾值對(duì)小波分解高頻系數(shù)進(jìn)行閾值化處理(可以使用全閾值或者尺度分解時(shí)各層采用不同的閾值);

(3)使用小波分解的低頻系數(shù)及閾值化處理后的高頻系數(shù)進(jìn)行小波逆變換得到估計(jì)信號(hào)(即原始信號(hào)的估計(jì)值)。

采用小波閾值去噪時(shí)，關(guān)鍵是閾值函數(shù)的選擇和閾值的估計(jì);傳統(tǒng)的閾值去噪方法有硬閾值法和軟閾值法。

假設(shè)含噪生信號(hào)的小波分解系數(shù)為ωj，k，取閾值為T;則硬閾值、軟閾值處理后的小波系數(shù)ω'j，k分別用式(4)、(5)表示。傳統(tǒng)的閾值［6］常取值為T=，其中N表示小波系數(shù)的長度，σ表示小波系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差。硬閾值函數(shù):

軟閾值函數(shù):

硬閾值函數(shù)是不連續(xù)的;軟閾值函數(shù)雖然連續(xù)，但是小波系數(shù)閾值化處理后與分解值存在固定的偏差，在一定程度上會(huì)引起重構(gòu)信號(hào)的失真。并且這2種方法沒有考慮到閾值的自適應(yīng)性。

改進(jìn)的軟閾值函數(shù)［8］為

上述改進(jìn)的閾值函數(shù)是連續(xù)的，并且克服了傳統(tǒng)軟閾值法中小波系數(shù)閾值化處理后與分解值存在固定偏差的弊端;大的小波分解系數(shù)的保留誤差將比小的小波系數(shù)的保留誤差小得多。以上3種閾值函數(shù)所對(duì)應(yīng)的曲線如圖4所示。同的閾值其中N表示對(duì)應(yīng)的尺度j下小波分解系數(shù)向量的長度。

圖4 閾值函數(shù)曲線Fig.4 Threshold functions curves

3 諧波小波分析法

雖然小波對(duì)于處理非平穩(wěn)信號(hào)是非常有效的，但通常的小波算法［9］(如 Mallat算法)在分解信號(hào)時(shí)要隔二抽一，隨著分解層數(shù)的增加，就會(huì)使小波分解各層的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)和采樣頻率減半。由于數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)較少，信號(hào)細(xì)節(jié)有可能存在著失真;并且小波基函數(shù)及分解尺度的選擇很麻煩。

而諧波小波［10］具有明確的函數(shù)表達(dá)式，無需經(jīng)過繁冗的尺度函數(shù)迭代;其分解算法是通過信號(hào)的快速傅里葉變換與快速傅里葉逆變換實(shí)現(xiàn)的，算法簡單。其伸縮與平移構(gòu)成了L2(R)空間的規(guī)范正交基。諧波小波濾波算法不僅能使不同頻段信號(hào)分離開來，而且能保持各段數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)不變、采樣頻率不變。

我們采用下面的表達(dá)式來定義諧波小波，

式中:m，n決定諧波小波的變換尺度j，且有 n=2m=2j，當(dāng)m=0 時(shí)，n=1。

在j=0時(shí)，諧波小波的傅里葉變換頻帶位于［2π，4π］，而在第j層，其頻譜位于［(2j+1)π，(2j+2)π］。隨著j的增大，其頻譜帶寬以二進(jìn)制的方式逐漸變寬，但幅值降低，如圖5所示。

圖5 不同層諧波小波的頻譜Fig.5 Frequency spectrum of harmonic wavelet at different levels

根據(jù)小波變換的定義，相對(duì)于尺度為j的諧波小波ψm，n(t)，信號(hào)f(t)的小波變換可以表示為

根據(jù)傅里葉變換的性質(zhì)，則有

圖6 尺度j下的信號(hào)諧波小波變換Fig.6 Signal harmonic wavelet transform at level j

由于諧波小波是一個(gè)理想的帶通濾波器，可以將任何信號(hào)f(t)∈L2(R)正交、無冗余、無遺露地分解到相互獨(dú)立的頻段上。各個(gè)頻段之間是相互正交的，方便研究某一特定頻段的成分。因此，可以很好地將其應(yīng)用于水輪機(jī)發(fā)電機(jī)軸心軌跡的去噪提純中。

4 仿真模擬實(shí)驗(yàn)及分析比較

計(jì)算機(jī)模擬的外“8”字形原軸心軌跡圖和含噪軸心軌跡圖如圖7所示。采用db4小波基函數(shù)分別將橫軸信號(hào)x和縱軸信號(hào)y進(jìn)行三尺度分解，得到對(duì)應(yīng)的各層近似和細(xì)節(jié)信息，如圖8所示;從圖8中可以分析看出，噪聲部分主要包含在表示細(xì)節(jié)信息的d1，d2和d3中。

圖7 外“8”字形軸心軌跡圖Fig.7 Shaft orbits of“8”shape

圖8 含噪信號(hào)及其各層近似、細(xì)節(jié)信息Fig.8 Noisy signals，approximations and the details at each level

分別采用小波硬閾值法、小波軟閾值法、改進(jìn)的小波軟閾值法、諧波小波法4種方法來提純軸心軌跡，前3種方法均采用db4小波基函數(shù);提純結(jié)果如圖9所示。

從圖9的提純結(jié)果來分析，對(duì)于小波閾值去噪，傳統(tǒng)硬閾值法中會(huì)丟失一些有用的信息，傳統(tǒng)軟閾值去噪中，在一定程度上會(huì)引起重構(gòu)信號(hào)的失真;如何合理地給定閾值直接影響著去噪的效果，不容易把握;實(shí)際上小波基函數(shù)的選擇、小波分解的尺度也影響小波閾值去噪的效果。如果每個(gè)尺度上的閾值選擇更為合理些，改進(jìn)的小波軟閾值去噪法效果會(huì)更好。而小波諧波法提純效果更佳，且去噪算法實(shí)現(xiàn)更簡單。

從表2中的數(shù)據(jù)可以分析得出:小波諧波法處理后信號(hào)的信噪比最高，均方根誤差最小，其次是改進(jìn)的軟閾值法、軟閾值法、硬閾值法。

表2 4種軸心軌跡提純方法的比較Table 2 Comparison of shaft orbit identification of the 4 methods

5 結(jié)論

本文采用計(jì)算機(jī)模擬仿真，在傳統(tǒng)小波硬、軟閾值去噪法基礎(chǔ)上提出一種新的軟閾值去噪法和諧波小波去噪法，用于提純水輪發(fā)電機(jī)軸心軌跡，得到了清晰的軌跡圖，對(duì)于水輪機(jī)組振動(dòng)故障診斷有很好的指導(dǎo)性。對(duì)于改進(jìn)的小波軟閾值去噪法，性能比傳統(tǒng)小波閾值去噪法有了較大的改進(jìn)，關(guān)鍵之處在于閾值的選取，但閾值函數(shù)的構(gòu)造及閾值的選擇比較麻煩，具有一定的主觀性和不確定性;引入的小波諧波法程序?qū)崿F(xiàn)更為簡單，效率更高，是一種更為理想的信號(hào)去噪、軸心軌跡提純的方法。

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