利用對稱性簡化多元積分運算技巧探析

張 野 (公安消防部隊昆明指揮學校訓練部文化教研室，云南 昆明 650208)

賈衛華 (遼寧科技學院學報編輯部，遼寧 本溪 117004)

利用對稱性簡化多元積分運算技巧探析

張 野 (公安消防部隊昆明指揮學校訓練部文化教研室，云南 昆明 650208)

賈衛華 (遼寧科技學院學報編輯部，遼寧 本溪 117004)

多元積分的計算是高等數學的一個重點，也是難點。在總結了二重積分、三重積分、第一類型的曲線積分和曲面積分的一般計算方法的基礎上，著重討論如何利用對稱性來簡化多元積分的運算技巧。

二重積分；三重積分；對稱性

積分學是高等數學學科中一個重要的組成部分，根據一元函數的定積分的幾何意義，可以得到一種解題技巧—利用函數對稱性[1]求解:

若函數f(x)在其對稱的定義域區間[-a,a]上連續，則：

同理，二重積分、三重積分、第一類曲線積分和曲面積分中也可以應用對稱性質，這些對稱性質與定積分比較有共性性，也有對稱性本身的特性；在大學專業數學課本中很少提及，但是在一些升本、考研等考試中卻不乏出現。通過找共性和特性，找出相應的規律后，對積分求解問題有很大的幫助。

1 n重積分的概念

設n元函數f(x1,x2, …，xn)定義在n維可求體積的區域V上。如二元積分概念，通過對V的分割、近似求和、取極限的過程，便得到n元積分的概念：

(1)

與二重積分相仿，n重積分也有如下一些結論：

若f(x1,…,xn)在n維有界閉區域V上連續，則n重積分(1)必存在。

當V由不等式組a1≤x1≤b1，a2(x1)≤x2≤b2(x1),…,an(x1,…,xn-1)≤xn≤bn(x1,…,xn-1)表示時，則有：

2 利用對稱性優化二重積分的計算

根據被積函數不同的奇、偶性和不同的積分區域，應用對稱性質分別用下述3個命題[2]可以對二重積分進行簡化計算。

命題1假設被積函數f(x,y)在積分區域D上是連續的:

命題2假設被積函數f(x,y)在積分區域D上是連續的，且D關于原點對稱(D1、D2為D關于原點對稱的2部分區域)，則:

命題3假設被積函數f(x,y)在積分區域D上是連續的，且D關于直線y=x對稱，則：

式中,D1,D2為D關于直線y=x對稱的2部分區域。

注意：只有被積函數和積分區域都具有對稱性時，才能用上述3個命題進行計算。

3 利用對稱性優化三重積分的計算

命題4假設f(x,y,z)在有界閉區域Ω上是連續的：

命題5假設f(x,y,z)在有界閉區域Ω上是連續的：

命題6假設f(x,y,z)在有界閉區域Ω上是連續的，且Ω關于原點對稱：

式中，Ω1，Ω2是Ω關于原點對稱的2部分。

此外，還可以利用輪換對稱性優化三重積分的計算。輪換對稱性[3]定義如下：若被積函數或積分區域的表達式里，將變量x,y,z按如下次序排列：x→y;y→z;z→x后，表達式均不發生變化，則被積函數或積分區域關于3個變量x,y,z具有輪換對稱性。

4 結 語

通過對多元函數積分及定積分的共性和特性進行比較，能明確地認識到對稱性在解多元積分題目中的重要性。能夠熟練地理解和掌握應用對稱性的解題方法，對提高積分性質的理解和解題效率有很大幫助。應用好對稱性，不但可以優化定積分的運算，也可以優化二重、三重積分的運算，還可以優化第一類及第二類曲線積分的運算，在以后的研究中，應逐步完善對稱性在高等數學中的應用。

[1]龔冬保，武忠祥，毛懷遂.高等數學典型題解法[M].西安：西安交通大學出版社，2000:290-314.

[2]華東師范大學數學系.數學分析(下冊)[M].北京：高等教育出版社，1987:261-262.

[3]毛綱源.高等數學解題方法技巧歸納(下冊)[M].武漢：華中科技大學出版社，2002:271-285.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.02.047

O171.2

A

1673-1409(2012)02-N138-03

2011-12-26

張野(1985-)，女，2007年大學畢業，助理講師，現主要從事應用數學方面的教學與研究工作。