立足雙基 關注熱點 把握范圍——談三角函數的自主招生備考

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(紹興市第一中學 浙江紹興 312000)

立足雙基關注熱點把握范圍——談三角函數的自主招生備考

●虞金龍

(紹興市第一中學 浙江紹興 312000)

三角函數是一種重要的函數，它的定義和性質獨特，在自主招生中是對基礎知識和基本技能考查的重要內容之一.因此在備考時，要在三角函數的靈、活、巧上下功夫，在備考前，應立足雙基，關注熱點，把握范圍.

1 立足雙基

三角函數是基本初等函數之一，要充分關注三角公式的靈活運用，巧妙利用特殊角進行角的變換，合理利用三角函數的圖像和性質進行解題.

1.1 靈活運用公式

( )

(2011年清華大學等七校聯考試題)

解由降冪公式得

評注公式多是三角函數的一大特點，如何靈活運用公式是夯實三角函數雙基的基本途徑.本題主要考查三角函數的和差公式、降冪公式及三角恒等變形公式.本題的解題關鍵是利用條件將所給的函數“化一”，即變形為一個角或一個三角函數的形式.一般來說，求解三角函數的周期、最值等問題，都可以利用“化一”的方法，因此考生要給予重視并熟練運用.

1.2 巧化角的變換

例2求sin410°+sin450°+sin470°的值.

(2010年清華大學自主招生試題)

解sin410°+sin450°+sin470°=

cos480°+cos440°+cos420°=

2cos40°+cos2160°+cos280°+cos240°)=

評注角的變換是三角函數考查的重點之一，由于題目的形式各不相同，因此解題方法也因題而異.從整體上講，角的變換要著重抓住“特殊角”，考慮角與角之間的關系.本題主要利用三角公式，巧妙利用角的變換達到解題目的.

1.3 合理利用性質

(1)求φ的大小；

(2)當x∈[0,π]時，方程f(x)-m=0恰有2個不同的實根，觀察f(x)的圖像，寫出m的取值范圍.

(2009年華中科技大學自主招生試題)

解(1)函數f(x)=-[sin2(x+φ)+

cos2(x+φ)]=

又因為

所以

φ=0.

圖1

(2)由第(1)小題知

評注三角函數的圖像和性質是三角函數的核心問題，自主招生試題中也常對性質進行考查，主要利用數形結合的思想，有時靈活性較大并有一定的難度.

2 關注熱點

在歷年的自主招生試題中，三角形中的問題是考查的熱點之一，此類問題主要利用正弦、余弦定理和內角和定理，在復習時要注意把握熱點，做到有的放矢.

2.1 關注三角形中的問題

例4已知△ABC不是直角三角形.

(1)證明：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC;

(2011年清華大學等七校聯考試題)

tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB).

因為△ABC不是直角三角形且A+B+C=π,所以A+B=π-C,從而

tanA+tanB= tan(π-C)(1-tanAtanB)=

-tanC+tanAtanBtanC,

因此

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

(2)依題意，知

由第(1)小題，得

從而

又根據題意有

從而

即

整理得

3cos(A-C)= 1+2cos(2A-2C)=

4cos2(A-C)-1,

即

4cos2(A-C)-3cos(A-C)-1=0,

解得

評注三角形中的問題是歷年自主招生的熱點之一，本題主要利用三角形的內角和定理及和角公式.

2.2 重視正、余弦定理的應用

( )

(2010年清華大學等五校聯考試題)

解法2由正弦定理可將a+c=3b變形為

sinA+sinC=3sinB=3sin(A+C),

右邊展開并整理可得

sinA(1-3cosC)+sinC(1-3cosA)=0,

即

從而

即

評注在歷年的自主招生試題中，利用正余弦定理設計考題是考查重點之一.本題主要利用正弦定理、內角和定理及角的和差公式.

3 把握范圍

由于各地高考要求不一，因此考生必須了解自主招生命題的范圍.縱觀近幾年各校的自主招生試題，對三角公式的要求比較高，除記住二倍角公式外，對三倍角公式也有一定的要求.另外，積化和差、和差化積公式也屢有見到，考生在復習時必須把握好.北京大學等名校還時常考查三角函數與其他內容的綜合問題，考生必須針對自己的招生學校把握好復習范圍.

3.1 熟記特殊公式

例6三角形的3條邊長為連續整數.

(1)是否存在這樣的三角形，其最大角是最小角的2倍？

(2)是否存在這樣的三角形，其最大角是最小角的3倍？

(2005年上海交通大學保送、推優生數學試題)

解設三角形的最大角為α,最小角為β，3條邊長為n,n+1,n+2.

從而

又因為

所以

解得n=4,故所求三角形的3條邊長為4,5,6.

從而

因為

所以

即

n3-9n+8=0,

亦即

(n-1)(n2+n-8)=0,

解得

當n=1時，3條邊長1，2，3不能構成三角形，因此不存在這樣的三角形.

評注本題考查二倍角、三倍角公式，主要利用正、余弦定理，此題還有其他解法，但筆者認為此解法屬較簡單的解法之一.

3.2 重視綜合運用

(2009年北京大學自主招生試題)

即

評注此題是三角與數論的簡單組合，此題解法較多，此解法簡潔易懂，但考生對分類討論思想的運用有一定的困難，因此不易想到此解法.

目前，各校自主招生要求不同，現在又出現“北約”、“華約”、“卓越”、復旦大學“千分考”等.由于自主招生沒有確切的考綱，針對三角函數這塊知識的考查，往往高于高考要求，因此筆者認為考生在應考時要關注到這一特點，只有針對自己報考學校的要求而采取相應的復習方式，才能在自主招生考試中穩操勝券.