巧用構造法證明不等式競賽題

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(東陽市外國語學校高中部 浙江東陽 322100)

巧用構造法證明不等式競賽題

●厲軍萍

(東陽市外國語學校高中部 浙江東陽 322100)

不等式的證明，憑借其簡單的知識基礎、獨特的解題構思、發散的證明方向、奇妙的推理過程成為數學競賽中永恒的熱點之一.構造法，作為技巧性特別強的一種解題方法，主要通過構造適當的變量、等式、函數、圖形、數列、模型等輔助手段，使問題轉化，揭示出直觀和本質的形式，從而有助于問題的解決.構造法與不等式證明的結合，往往能相得益彰，迸發出令人贊嘆的思維火花.本文擬通過具體例子，分類闡述如何巧用構造法證明不等式競賽題.

1 構造函數關系證明不等式

例1已知a,b,c∈(-2,1)，求證：abc>a+b+c-2.

分析此不等式2邊關于a,b,c對稱，且a,b,c都是一次的，可以嘗試構造一次函數.

證明設f(x)=(bc-1)x-b-c+2，則

因為b,c∈(-2,1)，所以

故

從而

f(1)=bc-b-c+1=(1-b)(1-c)>0,

當x∈(-2,1)時，f(x)恒大于0，于是f(a)>0，即abc>a+b+c-2.

分析從條件和結論的形式看，a,b,c呈輪換對稱，因此構造的函數也應當是輪換對稱型.

證明由a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)=1-2(ab+bc+ca)，可知原不等式等價于

(1)

令f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=x3-x2+(ab+bc+ca)x-abc，則

因此

整理即得式(1).故原不等式得證.

2 構造數列證明不等式

從數列的定義上看，數列可以看作一個定義在自然數集或其有限子集上的函數當自變量從小到大依次取值時的一系列函數值，因此可以從數列的角度理解函數或不等式.利用數列的通項公式和求和公式以及利用數列的特殊性質證明不等式，與一般證明相比較，常常顯得新穎獨特，別具一格.

(第19屆莫斯科數學競賽試題)

故原不等式成立.

故

3 構造圖形證明不等式

數形結合是最重要的數學思想之一，也是解決數學問題的有效方法之一.不等式的證明也是如此，如果問題條件中的數量關系有較為明顯的幾何意義或以某種方式可與幾何圖形建立聯系，那么可以通過構造圖形，將題設的條件及數量關系直接在圖形中得到體現，然后在構造的圖形中尋求所證的結論.

分析根據題意，本題的證明離不開三角形的知識，但怎樣的三角形可以使解題更為方便，是首先應當思考的.

證明如圖1所示，構造圓外切△ABC，使得3條邊a,b,c滿足a=y+z,b=z+x,c=x+y,則原不等式等價于

(2)

圖1

(yz+zx+xy)2≥3xyz(x+y+z),

即證明

(yz)2+(zx)2+(xy)2≥xyz(x+y+z)，

而此式顯然成立，故原不等式成立.

例6設x,y,z>0，求證：

分析三角形是最基本的平面圖形，三角形中存在許多結論，如三角形的邊角不等關系、正余弦定理和面積計算公式等是最基本的解題工具，巧妙利用這些知識解題往往能收到事半功倍的效果.

圖2

證明如圖2所示，∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,設PA=x,PB=y,PC=z,則P為△ABC的費馬點.易知

在△APB,△BPC,△CPA中，由三角形兩邊之和大于第三邊，并將所得的3個式子相加，即得左邊的不等式.

另一方面，在△ABC中，由例5的結論

可得

(3)

從而

(4)

又ab+bc+ca≤a2+b2+c2，由式(4)可得

式(3)+式(5)×2得

故

4 構造分布列證明不等式競賽題

若隨機變量ξ的分布列如表1所示，則方差

Dξ=P1(x1-Eξ)2+p2(x2-Eξ)2+…+pn(xn-Eξ)2+…=Eξ2-(Eξ)2≥0.

通過構造隨機變量的概率分布列，可以證明一類不等式競賽題.

例7如果正數x1,x2,…,xn的和為1，證明：

(第24屆全蘇數學競賽試題)

分析構造分布列證明的關鍵在于構造適當的隨機變量及其概率.本題可以用多種不同方法證明.

證明構造隨機變量ξ的分布列如表2所示.

表2 隨機變量ξ的分布列

則

由Eξ2-(Eξ)2≥0得

例8設a,b,c,d>0，且ab+bc+cd+da=1，求證：

(第31屆IMO備選試題)

分析本題的證明關鍵仍然是如何根據題給條件和所證結論構造適當的隨機變量及其概率.

證明構造隨機變量ξ的分布列如表3所示.

表3 隨機變量ξ的分布列

其中m=2(ab+bc+cd+da+ac+bd),則

由Eξ2-(Eξ)2≥0得

5 構造代換模型證明不等式競賽題

代換法是證明不等式的常用方法，通過代換往往能將一個復雜的不等式轉化為一個簡單的或可直接運用公式證明的不等式問題.代換的方法很多，如均值代換、三角代換、線性代換、分母代換等，如何尋找一種合適的模型進行代換是解決問題的關鍵.

分析對于一類齊次型的分式不等式，可以通過分母代換，將原不等式轉化為基本不等式證明問題.

證明令a=2x+y+z,b=x+2y+z，c=x+y+2z,則

例10設x,y,z是大于-1的實數,證明:

(2004年IMO中國國家隊培訓試題)

分析本題x,y,z呈輪換對稱形式，但每一個分式都不是齊次型，因此，先通過基本不等式將分式化為齊次型(含常數)是證明的第一步.

設p=2c+b,q=2a+c，r=2b+a,則

故原不等式得證.